Problema geometrico e logica
Ciao a tutti
Vi scrivo perché c'è un problema che non riesco a risolvere, ed è il seguente:
Quante sfere può contenere una scatola cubica di lato 100 volte più grande del raggio della singola sfera?
Il risultato dovrebbe essere compreso tra 125mila e 177mila.
Purtroppo il mio risultato è 238mila in quanto ho calcolato il volume del cubo (assumendo raggio della sfera=1), e poi ho diviso tale volume per il volume della singola sfera $(4/3)*\pi$ .
Qualcuno sa mostrarmi il procedimento corretto, e come ci si arriva?
Grazie mille!
Vi scrivo perché c'è un problema che non riesco a risolvere, ed è il seguente:
Quante sfere può contenere una scatola cubica di lato 100 volte più grande del raggio della singola sfera?
Il risultato dovrebbe essere compreso tra 125mila e 177mila.
Purtroppo il mio risultato è 238mila in quanto ho calcolato il volume del cubo (assumendo raggio della sfera=1), e poi ho diviso tale volume per il volume della singola sfera $(4/3)*\pi$ .
Qualcuno sa mostrarmi il procedimento corretto, e come ci si arriva?
Grazie mille!
Risposte
Da dove proviene questo problema? Perché non è affatto banale stabilire quale sia l'impacchettamento migliore …
Comunque ponendo il raggio uguale a $1$ il volume della scatola cubica è pari a un milione.
Ora, ipotizzando di posizionare le sfere nel modo più "semplice" ovvero come fossero dei cubi, queste occuperebbero un volume pari a $2^3=8$ quindi di sicuro ci stanno almeno $125.000$ sfere.
Ci sarebbe poi l'impacchettamento esagonale che è più efficiente (e il migliore di tutti dovrebbe essere quello "cubico a facce centrate" o "dodecaedro rombico di Keplero" ma è tutto quello che so
)
Cordialmente, Alex
Comunque ponendo il raggio uguale a $1$ il volume della scatola cubica è pari a un milione.
Ora, ipotizzando di posizionare le sfere nel modo più "semplice" ovvero come fossero dei cubi, queste occuperebbero un volume pari a $2^3=8$ quindi di sicuro ci stanno almeno $125.000$ sfere.
Ci sarebbe poi l'impacchettamento esagonale che è più efficiente (e il migliore di tutti dovrebbe essere quello "cubico a facce centrate" o "dodecaedro rombico di Keplero" ma è tutto quello che so
)Cordialmente, Alex
Grazie caro! Proviene da un libro di Tecnologia dei Materiali. Essendo però un problema prettamente geometrico/logico, ho ritenuto opportuno porlo in questa sezione.
Buona serata
Buona serata
"axpgn":
il migliore di tutti dovrebbe essere quello "cubico a facce centrate"
Magari sai anche qualcosa sull'impacchettamento peggiore di tutti?
Il mio 
Comunque il rapporto tra volume sfere e volume scatola è questo:
Reticolo cubico: $0.5236$
Reticolo esagonale: $0.6046$
Reticolo cubico a facce centrate: $0.7404$
Peraltro si raggiunge un bel risultato anche con "l'impacchettamento irregolare compatto": $0.64$ che però non so cosa voglia dire di preciso, dato che la mia interpretazione sarebbe "impacchettare a caso ma premendo ben bene"
Cordialmente, Alex
Comunque il rapporto tra volume sfere e volume scatola è questo:
Reticolo cubico: $0.5236$
Reticolo esagonale: $0.6046$
Reticolo cubico a facce centrate: $0.7404$
Peraltro si raggiunge un bel risultato anche con "l'impacchettamento irregolare compatto": $0.64$ che però non so cosa voglia dire di preciso, dato che la mia interpretazione sarebbe "impacchettare a caso ma premendo ben bene"
Cordialmente, Alex
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