Problema geometrico 4
Ecco un problema che non riesco a dimostrare in "generale"
Preso un punto C sul diametro AB,la cui misura è 2r,di una semicirconferenza,costruire le semicirconferenze di diametri AC e CB,interne al semicerchio AB e centro O.Condotta una tangente comune alle due semicirconferenze di diametri AC e CB,si indichi con PQ la corda staccata su di essa dalla semicirconferenza di centro O.Determinare le lunghezze dei diametri AC e CB in modo che la corda PQ misuri r* $ sqrt(3) $ .
Ho fatto il seguente ragionamento. Unisco O con P e Q e mi traccio l'altezza del triangolo isoscele appena costruito.Con Pitagora deduco che l'altezza è pari a r/2.Supponiamo che le due semicirconferenze interne siano congruenti.Se il loro raggio è pari a r/2 allora i diametri AC e CB sono pari a r.E difatti la loro somma da 2r,cioè il diametro della semicirconferenza AB.
Tuttavia ciò che ho dimostrato è un caso particolare...E se le due semicirconferenze di diametri AC e CB hanno raggi diversi?Una cosa è sicura:la somma dei loro diametri è sempre 2r.
Ma in generale come posso ragionare?
Noto che i raggi delle due semicirconferenze interne sono paralleli...Ma la conoscenza degli angoli non mi porta nulla di utile a quanto vedo...
Consigli?
Ho pensato anche di prolungare il diametro AB a sinistra di A e la corda PQ fino a farli incontrare.In questo caso costruisco due triangoli simili...Ma poi che ci faccio?
Preso un punto C sul diametro AB,la cui misura è 2r,di una semicirconferenza,costruire le semicirconferenze di diametri AC e CB,interne al semicerchio AB e centro O.Condotta una tangente comune alle due semicirconferenze di diametri AC e CB,si indichi con PQ la corda staccata su di essa dalla semicirconferenza di centro O.Determinare le lunghezze dei diametri AC e CB in modo che la corda PQ misuri r* $ sqrt(3) $ .
Ho fatto il seguente ragionamento. Unisco O con P e Q e mi traccio l'altezza del triangolo isoscele appena costruito.Con Pitagora deduco che l'altezza è pari a r/2.Supponiamo che le due semicirconferenze interne siano congruenti.Se il loro raggio è pari a r/2 allora i diametri AC e CB sono pari a r.E difatti la loro somma da 2r,cioè il diametro della semicirconferenza AB.
Tuttavia ciò che ho dimostrato è un caso particolare...E se le due semicirconferenze di diametri AC e CB hanno raggi diversi?Una cosa è sicura:la somma dei loro diametri è sempre 2r.
Ma in generale come posso ragionare?
Noto che i raggi delle due semicirconferenze interne sono paralleli...Ma la conoscenza degli angoli non mi porta nulla di utile a quanto vedo...
Consigli?
Ho pensato anche di prolungare il diametro AB a sinistra di A e la corda PQ fino a farli incontrare.In questo caso costruisco due triangoli simili...Ma poi che ci faccio?
Risposte
Giustamente hai calcolato che in quel triangolo l'altezza (che chiamo OH) è r/2; occorre ora collegarla alla posizione di C. Suppongo $AC>=CB$ e uso le seguenti lettere: E, F sono i punti medi di AC e CB; T, U sono le proiezioni di E, F su PQ cioè sono i punti di tangenza. Ho poi indicato con due incognite i raggi delle due semicirconferenze ma se lo preferisci puoi anche solo porre \(\displaystyle AE=x \) e ricavare CF.
Per F traccio la parallela a PQ, incontrando TE e OH in R e S. Dalla similitudine dei triangoli ERF e OSF si ha $ER:OS=EF:OF$ che mi permette di calcolare OS e dedurne OH. Non voglio dirti di più per non toglierti il gusto della soluzione.
Per F traccio la parallela a PQ, incontrando TE e OH in R e S. Dalla similitudine dei triangoli ERF e OSF si ha $ER:OS=EF:OF$ che mi permette di calcolare OS e dedurne OH. Non voglio dirti di più per non toglierti il gusto della soluzione.
Ho rifatto il disegno con le tue indicazioni.Ora vado a rifare i calcoli...
A me viene:
$ bar(EF)=X+CF $
$bar (OF)=r-FB $
I segmenti CF ed ER come li ricavi?
$ bar(EF)=X+CF $
$bar (OF)=r-FB $
I segmenti CF ed ER come li ricavi?
$CB=AB-AC=2r-2x$ e quindi $CF=FB=FU=(CB)/2=r-x$
$ER=ET-TR=ET-FU=...$
Mi riferisco alla mia scelta di incognita, cioè $AE=x$; direi che tu invece consideri $AC=X$ ma si passa facilmente dall'una all'altra incognita.
$ER=ET-TR=ET-FU=...$
Mi riferisco alla mia scelta di incognita, cioè $AE=x$; direi che tu invece consideri $AC=X$ ma si passa facilmente dall'una all'altra incognita.
Si infatti i raggi vengono r/2.E quindi i diametri r.
Tu hai praticamente traslato la corda PQ su AB tracciando una parallela a PQ.Bel trucchetto
Tu hai praticamente traslato la corda PQ su AB tracciando una parallela a PQ.Bel trucchetto
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