Problema geometrico

[gianluca448]

è dato il triangolo equilatero ABC di lato 2a e sia M un punto del lato AB; si conduca da M la parallela MN al lato AC e si prenda sul prolungamento MN, dalla parte di N il punto P tale che sia MN =2NP. Sia H la proiezione ortogonale di B su aC e K il punto di incontro di BH con MN; dimostrare che BN è la mediana del triangolo BKP. Determinare il punto M in modo che sia verificata la seguente relazione $ PC^2+PB^2=35/8a^2 $

[gianluca448]

io finora ho fatto:

In un triangolo equilatero altezza, mediana, bisettrice proiezione dei vertici coincidono quindi BH oltre che proiezione è anche mediana.

quindi MK=KN
MN =MK+KN =2KN

MN=2NP --> 2KN=2NP ---> NP=KN quindi BN è mediana di BKP

[gianluca448]

Poi ho considerato il triangolo BMN e sostengo che è equilatero in quanto l'angolo MBN per costruzion è = 60° ,poichè MN è parallelo ad AC l'angolo BMN = 60° e quindi di conseguenza anche BNM =60°

Per costruzione l'angolo HBC 0 30° essendo BHC =90° e BCH=60°

$ CH =(AC)/2 = (2a)/2 =a $
$ BC = 2a $
$ BH = sqrt(BC^2-CH^2) = sqrt(4a^2-a^2)= asqrt(3) $

[gianluca448]

Non riesco ad andare avanti in questo problema geometrico

[marco9551]

Puoi facilmente dimostrare che BNM è un triangolo equilatero, in quanto ha gli angolo di 60°(osservando gli angoli corrispondenti tra le rette parallele MN e AC). Dopo aver di mostrato che PN=KN, poniamo:
$ MN=x $
Essendo BK altezza del triangolo equilatero BMN, avremo che:
$ BK=x/2*sqrt3 $

Consideriamo il triangolo rettangolo PBK. Abbiamo per il teorema di Pitagora:
$ PB^2=PK^2+KB^2 $

$ PK=PN+KN=2KN $ (per quanto hai dimostrato precedentemente) $ =MN=x $
$ PB^2=((x)/2sqrt3)^2+x^2=7/4x^2 $

Facciamo ora alcune considerazioni:
$ /_PNC=/_MNB $ (in quanto angoli opposti al vertice) $ =60° $


Chiamiamo L la proiezione di P su BC. Consideriamo dunque il triangolo rettangolo PLN. Avendo un angolo di 60°(PN^C), avremo le seguenti relazioni tra i lati(tenere conto che $ PN=1/2x $ )

$ PL=1/4xsqrt3 $ e
$ LN=1/4x $
$ CL=BC-BN-LN=2a-x-1/4x=2a-5/4x $

Consideriamo il triangolo rettangolo PLC. Per Pitagora avremo:
$ PC^2=PL^2+CL^2=(2a-5/4x)^2+(1/4xsqrt3)^2=7/4x^2-5ax+4a^2 $
Avolgendo l'equazione alla fine avrai due soluzioni, di cui una negativa che va scartata e l'altra è $ 3/2a $.
Per cui possiamo dire che M deve essere posizionato su AB in modo tale che risulti $ MN=3/2a $ o meglio
$ MN=3/4AB $.
Se hai dei dubbi chiedi pure.

[gianluca448]

non ho capito la relazione tra i lati

[marco9551]

Non so bene a cosa ti riferisci. Se intendi l'equazione che devi impostare, è la seguente:
$ 7/4x^2-5ax+4a^2+7/4x^2=35/8a^2 $

[gianluca448]

Scusate, ma per trovarmi PL con quella formula considerate il triangolo PCN un triangolo equilatero?
Se si come lo posso dimostrare?


Grazie

[marco9551]

Per trovare la lunghezza di $PL$ devi considerare il triangolo rettangolo $PLN$, rettangolo in $hatL$(per costruzione $L$ è la proiezione di $P$ su $BC$). Il triangolo $PLN$ è la metà di un triangolo equilatero, in quanto ha l'angolo $PhatNL$ di 60°. Ciò si dimostra in quanto $PhatNL=MhatNB$ (essendo angoli opposti al vertice) e l'angolo $MhatNB=60°$ in quanto angolo del triangolo equilatero $BMN$(che tu hai dimostrato essere un triangolo equilatero). Quindi alla fine hai
$PL=1/2PN*sqrt3$, ma $PN=1/2MN=1/2x$, dunque $PL=1/2*(1/2x)*sqrt3=1/4x*sqrt3$