Problema geometria solida (306550)

[LucaRiccardi]

Salve, avrei bisogno di aiuto con questo esercizio
grazie mille

[gio.cri]

Ciao, ho notato questo esercizio solo ora.

Provo a spiegarti i ragionamenti da effettuare; la richiesta a) vuole che si trovi il lato AB ed il volume del parallelepipedo, sapendo che, in corrispondenza di questa AB la superficie totale sia massima.

Iniziamo con qualche ragionamento:

Sappiamo che:

[math] 1) S_{TOT} = S_{Lat}+S_{Base} [/math]

Questa sara' la nostra funzione da massimizzare, ma vediamo come..

Sappiamo, inoltre, che:

[math] 2) h = \frac{AB}{2} [/math]

e

[math] 3) 2AB+2BC = 2p [/math]

Queste 3 relazioni ci permetteranno di trovare la soluzione.
Partiamo con la 2) che possiamo scrivere in questo modo:

[math]2) 2h=AB [/math]

Poi vediamo la 3):

[math] 3) 2BC = 2p -2h = 2p -4h [/math]

[math] 3) BC = p-2h [/math]

A questo punto, possiamo sostituire queste due equazioni nella 1):

[math] 1) S_{TOT} = S_{Lat}+S_{Base}=2p*h+2AB*BC [/math]

[math] 1) S_{TOT} = 2p*h+2(2h)(p-2AB)=2p*h+4hp-8h*AB [/math]

Abbiamo trovato la funzione da massimizzare. Ora sappiamo che la Superficie totale sicuramente sara' un valore costante, quindi, l'unica variabile che abbiamo e' l'altezza, h..
Andando a derivare, otteniamo:

[math] 0 = 2p+4p-16h [/math]

Da questa relazione troviamo h:

[math] 16h=6p ... h =\frac{3}{8}p [/math]

Trovata h, torniamo alla relazione 2):

[math] h=AB/2 ... AB = 2h = 2\frac{3}{8}p=\frac{3}{4}p [/math]

Infine, ci manca da calcolare il volume, quindi dalla seguente relazione troverai il lato BC:

[math] 2AB+2BC = 2p [/math]

E potrai calcolare il volume come:

[math] V = A_{base}*h =AB*BC*h=\frac{9}{128}p^3 [/math]

Prova tu a svolgere il secondo punto e se hai ancora difficolta' fammi sapere. Se risolvi, allega la risoluzione nel post, in modo che altri potranno beneficiare della risoluzione. Buona giornata.