Problema geometria solida
Un rettangolo $ABCD$ giace su un piano $alpha$. Traccia la retta $a$ perpendicolare ad $alpha$ e passante per $A$ e considera su di essa un punto $P$. Di che tipo sono i triangolo $PBC$ e $PDC$?
Le lettere del rettangolo le ho messe in senso antiorario, non so se ci sia una convenzione che impone di disporle diversamente...
Il triangolo $PDC$ è rettangolo, perché il segmento $PD$ appartiene alla retta $PA$, e la retta $PA$ è perpendicolare al piano.
Il triangolo $PBC$ non può essere rettangolo, in quanto né $PC$ né $PB$ possono essere parallele ad $alpha$ (perché altrimenti sarebbero parallele anche a $PA$).
Sbaglio qualcosa?
Le lettere del rettangolo le ho messe in senso antiorario, non so se ci sia una convenzione che impone di disporle diversamente...
Il triangolo $PDC$ è rettangolo, perché il segmento $PD$ appartiene alla retta $PA$, e la retta $PA$ è perpendicolare al piano.
Il triangolo $PBC$ non può essere rettangolo, in quanto né $PC$ né $PB$ possono essere parallele ad $alpha$ (perché altrimenti sarebbero parallele anche a $PA$).
Sbaglio qualcosa?
Risposte
Vi posto anche il mio disegno...
Traccia la retta a perpendicolare ad α e passante per A e considera su di essa un punto P.
Il triangolo PDC è rettangolo, perché il segmento PD appartiene alla retta PA, e la retta PA è perpendicolare al piano.
Quindi la retta $a$ contiene due punti del piano $alpha$, A e D, ne segue che la retta $a$, avendo due punti in comune con il piano, appartiene tutta al piano $alpha$. Mi pare che ciò non sia vero, è impossibile che la retta sia perpendicolare al piano e contemporaneamente appartenga al piano, ne segue che D non appartiene alla retta PA.
Hai ragione.
Comunque sia, $PBC$ non può essere rettangolo, perché $PA$ è perpendicolare al piano e due rette perpendicolari a uno stesso piano sono parallele tra loro.
Considerazione analoga per $PDC$: dati un piano $alpha$ e un punto $P$, esiste ed è unica la retta $r$ passante per il punto e perpendicolare al piano; quindi la retta incidente ad $alpha$ $PD$ non può essere perpendicolare al piano.
Credevo che i triangoli fossero particolari, per es. due triangoli rettangoli, ma non riesco a trovargli alcuna caratteristica degna di nota...
Comunque sia, $PBC$ non può essere rettangolo, perché $PA$ è perpendicolare al piano e due rette perpendicolari a uno stesso piano sono parallele tra loro.
Considerazione analoga per $PDC$: dati un piano $alpha$ e un punto $P$, esiste ed è unica la retta $r$ passante per il punto e perpendicolare al piano; quindi la retta incidente ad $alpha$ $PD$ non può essere perpendicolare al piano.
Credevo che i triangoli fossero particolari, per es. due triangoli rettangoli, ma non riesco a trovargli alcuna caratteristica degna di nota...
Forse ho capito: $PA$ è perpendicolare ad $alpha$; $AB$, giacente su $alpha$, è perpendicolare a $BC$ ,quindi $BC$ è perpendicolare al piano $beta = PAB$. Quindi $PBC$ è un triangolo rettangolo in $C$.
Analogamente: $AD$ è perpendicolare ad $a$ e $AD$ è perpendicolare a $DC$, quindi $DC$ è perpendicolare al piano $gamma= ADC$. Quindi $PDC$ è rettangolo in $D$.
Analogamente: $AD$ è perpendicolare ad $a$ e $AD$ è perpendicolare a $DC$, quindi $DC$ è perpendicolare al piano $gamma= ADC$. Quindi $PDC$ è rettangolo in $D$.
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