Problema geometria euclidea
Propongo questo esercizio sperando possiate aiutarmi a risolverlo:
Dato un quadrato ABCD sia E un punto interno tale che l'angolo ECD = angolo EDC = 15°; mostrare che il triangolo ABE è equilatero.
Con semplici osservazioni riesco a concludere che il triangolo ABE è isoscele, o meglio che i segmenti AE e BE sono uguali, ma poi non riesco proprio ad andare avanti.
Ho provato pure a costruire prolungamenti, altezze etc sulla figura per provare a vedere qualcosa, ma non mi si accende nulla in testa! Qualche consiglio?
Dato un quadrato ABCD sia E un punto interno tale che l'angolo ECD = angolo EDC = 15°; mostrare che il triangolo ABE è equilatero.
Con semplici osservazioni riesco a concludere che il triangolo ABE è isoscele, o meglio che i segmenti AE e BE sono uguali, ma poi non riesco proprio ad andare avanti.
Ho provato pure a costruire prolungamenti, altezze etc sulla figura per provare a vedere qualcosa, ma non mi si accende nulla in testa! Qualche consiglio?
Risposte
La dimostrazione che avevo trovato è per assurdo: supponendo che $ABE$ non sia equilatero, possiamo disegnare il triangolo equilatero $ABF$, con $F$ distinto da $E$. Si può ora dimostrare che $FhatCD=FhatDC=15°$ e che quindi i due punti coincidono, da cui l'assurdo.
Comunque vedi qui, dove se ne parlava.
Comunque vedi qui, dove se ne parlava.
mi ricordavo di aver visto la figura da qualche parte, ma anch'io pensavo di ricorrere ad una dimostrazione per assurdo: la discussione citata non la ricordavo, ma prima di vederla mi era venuto in mente un altro modo di procedere, anch'esso insolito o poco ortodosso.
per costruzione, il punto E dovrebbe essere l'intersezione di due archi di circonferenza, BD di centro A e AC di centro B.
non so se è la stessa cosa a cui faceva riferimento giammaria.
per costruzione, il punto E dovrebbe essere l'intersezione di due archi di circonferenza, BD di centro A e AC di centro B.
non so se è la stessa cosa a cui faceva riferimento giammaria.
Se parlando di quell'intersezione intendi che quello è il modo in cui normalmente si disegna un triangolo equilatero, è la stessa cosa. Se invece intendi qualcos'altro, confesso che ci capisco poco.
@ giammaria
No, intendevo arrivare alla dimostrazione attraverso una costruzione.
Credo però che si tratti in qualche modo di una verifica per assurdo, per cui ti chiedo se il ragionamento fatto da te è lo stesso.
Considero il quadrato $ABCD$, come nell’enunciato, ed ignoro per il momento il punto $E$.
Chiamo $F$ il punto d’intersezione dei due archi di circonferenza, $BD$ di centro $A$ e $AC$ di centro $B$.
Il triangolo $ABF$ è chiaramente equilatero, come tu stessa hai affermato.
Io voglio verificare che necessariamente il punto $F$ deve coincidere con $E$.
I triangoli $AFD$ e $BCF$ sono congruenti, isosceli, con l’angolo al vertice di $30°$ e dunque con gli angoli alla base di $75°$. Inoltre, per la simmetria del problema, $F$ appartiene all’asse del segmento $CD$. Pertanto, il triangolo $CDF$ è isoscele ed ha gli angoli alla base di $15°$, in quanto complementari di angoli di $75°$.
$F$ coincide dunque con $E$. Quindi il punto $E$ è l’intersezione dei due archi di circonferenza citati ed il triangolo $ABE$ è equilatero.
Ciao.
No, intendevo arrivare alla dimostrazione attraverso una costruzione.
Credo però che si tratti in qualche modo di una verifica per assurdo, per cui ti chiedo se il ragionamento fatto da te è lo stesso.
Considero il quadrato $ABCD$, come nell’enunciato, ed ignoro per il momento il punto $E$.
Chiamo $F$ il punto d’intersezione dei due archi di circonferenza, $BD$ di centro $A$ e $AC$ di centro $B$.
Il triangolo $ABF$ è chiaramente equilatero, come tu stessa hai affermato.
Io voglio verificare che necessariamente il punto $F$ deve coincidere con $E$.
I triangoli $AFD$ e $BCF$ sono congruenti, isosceli, con l’angolo al vertice di $30°$ e dunque con gli angoli alla base di $75°$. Inoltre, per la simmetria del problema, $F$ appartiene all’asse del segmento $CD$. Pertanto, il triangolo $CDF$ è isoscele ed ha gli angoli alla base di $15°$, in quanto complementari di angoli di $75°$.
$F$ coincide dunque con $E$. Quindi il punto $E$ è l’intersezione dei due archi di circonferenza citati ed il triangolo $ABE$ è equilatero.
Ciao.
Sì, è esattamente la mia soluzione: ne trovi conferma leggendo il mio intervento che sta verso il fondo della pagina linkata. Lì stesso vedi però anche le obiezioni che facevo a quel ragionamento e che ho superato pensando ad una dimostrazione per assurdo, come mi è stato suggerito nei post successivi.
Cercando di indovinare quale poteva essere la tua soluzione, me ne è venuta in mente un'altra: dette $A',B'$ le intersezioni di $AD,BC$ con gli assi di $DE,CE$, con un ragionamento inverso a quello che facevo là si dimostra facilmente che il triangolo $A'B'E$ è equilatero; ne consegue che
$DA'=A'E=A'B'=AB=DA$
e quindi $A'$ coincide con $A$.
Ciao anche a te.
Cercando di indovinare quale poteva essere la tua soluzione, me ne è venuta in mente un'altra: dette $A',B'$ le intersezioni di $AD,BC$ con gli assi di $DE,CE$, con un ragionamento inverso a quello che facevo là si dimostra facilmente che il triangolo $A'B'E$ è equilatero; ne consegue che
$DA'=A'E=A'B'=AB=DA$
e quindi $A'$ coincide con $A$.
Ciao anche a te.
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