Problema geometria analitica (70824)

[Eleug]

Scrivere l'equazione dell'ellisse riferita al centro e agli assi sapendo che il semiasse maggiore misura 4 che l'ellisse è tangente alla retta

[math]x + 2y - 8 = 0[/math]

nel punto A e che i fuochi stanno sull'asse x.

Calcolare le coordinate dei fuochi e l'eccentricità. Verificare che il punto A appartiene all'iperbole equilatera xy = 6 e calcolare la misura del perimetro e dell'area del quadrilatero avente per vertici i punti d'intersezione dell'ellisse con l'iperbole.


Questo è il testo, non riesco a fare questo esercizio mi blocco all'inizio per esempio non riesco a trovare il punto A ..-.-"

Più che altro mi servirebbe il procedimento più del risultato.

Grazie in anticipo:)

[enrico___1]

L'equazione dell'ellisse

[math]
\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1
[/math]

L'ellisse deve essere tangente alla retta data, quindi ponendo a sistema l'ellisse e la retta, e poi imponendo

[math]\Delta =0[/math]

cioè la condizione di tangenza hai che:

[math]
\{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ x+2y-8=0\to y=-\frac{x}{2}+4
[/math]

[math]
b^2x^2+4x^2+256-64x=16b^2\to x^2(b^2+4)-64x+256-16b^2=0
[/math]

[math]
\Delta=0 \to 4096-(4b^2-16)(256-16b^2)=0\to b^2-12=0\to b^2=12
[/math]

Con b

[math]\not =0[/math]

L'equazione dell'ellise è quindi:

[math]
\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1
[/math]

Per verificare che A appartenga all'iperbole xy=6 devi trovare le coordiante di A. Per fare questo poni a sistema l'equazione dell'iperbole appena trovata con la retta. E, trovate le coordinate, verifichi che xy dia come risultato 6.

Per il resto credo tu possa riuscirci da sola :)