Problema geometria analitica
Buongiorno matematicamente,ho un problema alla quale non trovo soluzione. Il problema è il seguente:
Scritta l'equazione della parabola che incontra l'asse x nei punti A e B di ascisse rispettivamente $(-2;4)$ e la cui tangente t in A è perpendicolare alla retta $r:x+2y=o$ , determinare:
a)Il punto C di intersezione tra t ed r;
b)La retta s//r passante per B;
c)Le coordinate di due vertici del rettangolo di diagonale CB aventi due lati su r e t e l'equazione della circonferenza circostante al tale rettangolo.
Scritta l'equazione della parabola che incontra l'asse x nei punti A e B di ascisse rispettivamente $(-2;4)$ e la cui tangente t in A è perpendicolare alla retta $r:x+2y=o$ , determinare:
a)Il punto C di intersezione tra t ed r;
b)La retta s//r passante per B;
c)Le coordinate di due vertici del rettangolo di diagonale CB aventi due lati su r e t e l'equazione della circonferenza circostante al tale rettangolo.
Risposte
Ciao,
fino a dove sei arrivato? Quali idee/procedimenti hai seguito?
fino a dove sei arrivato? Quali idee/procedimenti hai seguito?
Inizialmente ho impostato il sistema con l'equazione della parabola passante per i punti $(-2;4)$ e la retta $r$, ricavando così il punto C. Mi sono bloccato qui poichè è la prima volta che affronto problemi di questo tipo 
Secondo me hai interpretato male una parte del testo: dice che la parabola incontra l'asse $x$ nei punti con ascissa $-2$ e $4$. Questo significa che i due punti per i quali passa la parabola sono $A(-2,0)$ e $B(4,0)$. 
Ah si ho provato anche a fare così ma poi non so continuare più
Ho capito, allora mettiamoci all'opera! 
Abbiamo i punti $A(-2,0)$ e $B(4,0)$ e una generica parabola del tipo $y=ax^2+bx+c$. Quello che intanto possiamo fare è sostituire le coordinate (dopo vediamo un'osservazione più furba) e così trovare due condizioni. Tuttavia non sono sufficienti, dato che i parametri da determinare sono tre ($a,b,c$). La terza condizione viene dalla tangenza in $A$ alla retta perpendicolare a $x+2y=0$. Quindi ciò che vogliamo fare è scrivere la retta, passante per $A$, perpendicolare a $x+2y=0$ e poi imporre che sia tangente alla nostra parabola.
Intanto possiamo dire che il coefficiente angolare di $x+2y=0$ vale $-1/2$. Quindi quello della sua perpendicolare sarà $2$. A questo punto possiamo scrivere l'equazione della retta, ricordando la famosa formula \[y-y_0 = m\left(x-x_0\right)\] Otteniamo $y = 2x+4$. Imponiamo che questa sia tangente alla parabola: sostituiamo la $y$ e risolviamo \(\Delta = 0\). Dopo un po' di calcoli si arriva alla soluzione.
Ora vediamo l'alternativa più furba. Tu conosci quei due punti $A$ e $B$, che però sono punti importanti: sono quelli in cui la $y$ vale $0$, cioè quelli in cui si annulla il polinomio $ax^2+bx+c$. Ma questa non è un'informazione da poco! Essendo quel polinomio di secondo grado, tu puoi certamente dire che si può fattorizzare come \[(x+2)(x-4)\] Tutto questo a meno di una costante moltiplicativa che puoi chiamare $a$ (quella che prima compariva davanti a $x^2$). In conclusione possiamo semplicemente dire che la nostra parabola ha equazione \[y = a(x+2)(x-4)\] Quindi ci resta un solo parametro da trovare! Consideriamo ora il sistema \[\begin{cases}y = a(x+2)(x-4) \\ y = 2x+4\end{cases}\] e imponiamo che la sua soluzione sia unica, in modo che la retta sia tangente alla parabola. Sostituendo abbiamo \[ax^2-2(a+1)x-8a-4=0\] Imponiamo \(\Delta = 0\) e otteniamo \[9a^2+6a+1=0\] Risolvendo abbiamo infine \[a = -\frac{1}{3}\] In definitiva la parabola che stavamo cercando è \[y = -\frac{1}{3}(x+2)(x-4)\]
E da qui si prosegue con l'esercizio...
Abbiamo i punti $A(-2,0)$ e $B(4,0)$ e una generica parabola del tipo $y=ax^2+bx+c$. Quello che intanto possiamo fare è sostituire le coordinate (dopo vediamo un'osservazione più furba) e così trovare due condizioni. Tuttavia non sono sufficienti, dato che i parametri da determinare sono tre ($a,b,c$). La terza condizione viene dalla tangenza in $A$ alla retta perpendicolare a $x+2y=0$. Quindi ciò che vogliamo fare è scrivere la retta, passante per $A$, perpendicolare a $x+2y=0$ e poi imporre che sia tangente alla nostra parabola.
Intanto possiamo dire che il coefficiente angolare di $x+2y=0$ vale $-1/2$. Quindi quello della sua perpendicolare sarà $2$. A questo punto possiamo scrivere l'equazione della retta, ricordando la famosa formula \[y-y_0 = m\left(x-x_0\right)\] Otteniamo $y = 2x+4$. Imponiamo che questa sia tangente alla parabola: sostituiamo la $y$ e risolviamo \(\Delta = 0\). Dopo un po' di calcoli si arriva alla soluzione.
Ora vediamo l'alternativa più furba. Tu conosci quei due punti $A$ e $B$, che però sono punti importanti: sono quelli in cui la $y$ vale $0$, cioè quelli in cui si annulla il polinomio $ax^2+bx+c$. Ma questa non è un'informazione da poco! Essendo quel polinomio di secondo grado, tu puoi certamente dire che si può fattorizzare come \[(x+2)(x-4)\] Tutto questo a meno di una costante moltiplicativa che puoi chiamare $a$ (quella che prima compariva davanti a $x^2$). In conclusione possiamo semplicemente dire che la nostra parabola ha equazione \[y = a(x+2)(x-4)\] Quindi ci resta un solo parametro da trovare! Consideriamo ora il sistema \[\begin{cases}y = a(x+2)(x-4) \\ y = 2x+4\end{cases}\] e imponiamo che la sua soluzione sia unica, in modo che la retta sia tangente alla parabola. Sostituendo abbiamo \[ax^2-2(a+1)x-8a-4=0\] Imponiamo \(\Delta = 0\) e otteniamo \[9a^2+6a+1=0\] Risolvendo abbiamo infine \[a = -\frac{1}{3}\] In definitiva la parabola che stavamo cercando è \[y = -\frac{1}{3}(x+2)(x-4)\]
E da qui si prosegue con l'esercizio...
Avendo calcolato la retta tangente y=2x+4 e conoscendo la parabola y=ax^2+bx+c dovrei mettere a sistema queste due condizioni e poi porre il delta =0? per avere ovviamente la condizione di tangenza nella retta?
Esatto!
Ma quindi ponendo il delta =0 mi ricavo m=-1/3 che è il coefficiente angolare della retta tangente? poi uso y-y0=m(x-x0) sostituisco il punto nell'equazione e il coefficiente angolare, ed ottengo la retta tangente.. è giusto?
No, stai facendo confusione... la retta tangente ce l'hai già ed è $y=2x+4$. Imponendo $Delta = 0$ trovi un'altra condizione su $a,b,c$ che, insieme alle altre due, ti permette di trovare i loro valori.
Quello del $-1/3$ è l'altro metodo, quello che io ho definito (forse impropriamente) "furbo".
Quello del $-1/3$ è l'altro metodo, quello che io ho definito (forse impropriamente) "furbo".
Scusa se continuo, allora la retta tangente la tengo, quindi il primo punto del problema si ottiene mettendo in sistema:
$y=2x+4$
$x+2y=0$
ed ottengo il punto C .
Poi per il secondo punto sfrutto il fatto che due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare ed il fatto che passa per il punto B, quindi ottengo s usando $y-y0=m(x-x0)$ ... che dici? ho una prova e sto in confusione.
$y=2x+4$
$x+2y=0$
ed ottengo il punto C .
Poi per il secondo punto sfrutto il fatto che due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare ed il fatto che passa per il punto B, quindi ottengo s usando $y-y0=m(x-x0)$ ... che dici? ho una prova e sto in confusione.
Sì, quello che dici è corretto, quindi mantieni la calma e andrà tutto bene!
Per il secondo punto devi risolvere il sistema \[\begin{cases}y=2x+4 \\ x+2y=0\end{cases} \quad\Rightarrow\quad C\left(-\frac{8}{5}, \frac{4}{5}\right)\]
Per il terzo punto ricavi il coefficiente angolare di $r$, che è $-1/2$ e sfrutti la formula che hai scritto. Ottieni \[y = -\frac{1}{2}\left(x-4\right)\]
Per il secondo punto devi risolvere il sistema \[\begin{cases}y=2x+4 \\ x+2y=0\end{cases} \quad\Rightarrow\quad C\left(-\frac{8}{5}, \frac{4}{5}\right)\]
Per il terzo punto ricavi il coefficiente angolare di $r$, che è $-1/2$ e sfrutti la formula che hai scritto. Ottieni \[y = -\frac{1}{2}\left(x-4\right)\]
Woooow !!! ho fatto bene *-* il terzo punto però non mi riesce proprio :/
Dicono che un'immagine valga più di mille parole... speriamo, perché questa ne ha di cose da dire!
$CB$ è la diagonale di un rettangolo che deve avere lati su $r$ e $t$. Quello che devi fare è trovare le perpendicolari a $r$ e $t$ condotte dal punto $B$, quindi trovare quei punti che io ho contrassegnato sul grafico con $?$.
Guarda bene l'immagine e poi mi dici se il procedimento ti è chiaro.
$CB$ è la diagonale di un rettangolo che deve avere lati su $r$ e $t$. Quello che devi fare è trovare le perpendicolari a $r$ e $t$ condotte dal punto $B$, quindi trovare quei punti che io ho contrassegnato sul grafico con $?$.
Guarda bene l'immagine e poi mi dici se il procedimento ti è chiaro.
Non riesco proprio... 
Edit: Ci sono. La perpendicolare a t e passante per B è :$ y= (-1/2)x+2$ e quella a r è$ y= 2x-8$ Ora basta fare le intersezioni e trovo i vertici, giusto?
Edit: Ci sono. La perpendicolare a t e passante per B è :$ y= (-1/2)x+2$ e quella a r è$ y= 2x-8$ Ora basta fare le intersezioni e trovo i vertici, giusto?
Esatto!
E per la circonferenza?
Possiamo ricordare che per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza. Tu di punti ne hai addirittura quattro, quindi potresti anche fare a meno di uno di questi.
A questo punto abbiamo stabilito che la circonferenza esiste e si pone il problema di come trovarla. Il metodo più immediato è probabilmente quello di prendere una generica circonferenza \[x^2+y^2+ax+by+c=0\] e sostituire tre punti, risolvendo poi il sistema.
Altrimenti possiamo sfruttare una nota proprietà della circonferenza: l'asse di una corda passa per il centro, quindi tu costruisci due corde (prendendo due coppie di punti), trovi i loro assi e li intersechi: così hai trovato il centro. Per il raggio puoi calcolare la distanza tra il centro e uno qualsiasi dei quattro punti.
Vedi tu cosa preferisci...
A questo punto abbiamo stabilito che la circonferenza esiste e si pone il problema di come trovarla. Il metodo più immediato è probabilmente quello di prendere una generica circonferenza \[x^2+y^2+ax+by+c=0\] e sostituire tre punti, risolvendo poi il sistema.
Altrimenti possiamo sfruttare una nota proprietà della circonferenza: l'asse di una corda passa per il centro, quindi tu costruisci due corde (prendendo due coppie di punti), trovi i loro assi e li intersechi: così hai trovato il centro. Per il raggio puoi calcolare la distanza tra il centro e uno qualsiasi dei quattro punti.
Vedi tu cosa preferisci...
Finito tutto, mi sei stato di grande aiuto, grazie mille
Prego! 
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