Problema geometria (64364)
1) Nel triangolo ABC rettangolo in C,sia dato il punto P del cateto minore AC,tale che APB=2A. Dimostrare che BPC=2ABC
2)Sia AC il cateto minore del triangolo rettangolo ABC e siano CH e CM l'altezza e la mediana relative all'ipotenusa AB.Dimostrare che l'angolo HCM è uguale alla differenza degli angoli A e B
entro questa giornata,buona giornata a tutti
2)Sia AC il cateto minore del triangolo rettangolo ABC e siano CH e CM l'altezza e la mediana relative all'ipotenusa AB.Dimostrare che l'angolo HCM è uguale alla differenza degli angoli A e B
entro questa giornata,buona giornata a tutti
Risposte
1) chiama x l'angolo PAB.
Considera il triangolo rettangolo ABC
L'angolo C e' 90, quindi l'angolo in B (ovvero l'angolo ABC) sara'180-90-x=90-x
L'angolo BPA e', per ipotesi, 2x
L'angolo BPC e' supplementare a 2x, quindi sara' 180-2x ovvero (raccogliendo un 2) 2(90-x) che e' proprio il doppio di 90-x ovvero dell'angolo ABC
Aggiunto 12 minuti più tardi:
2)chiama l'angolo in A, x
L'angolo B sara' (come prima) 90-x
La loro differenza sara' x-(90-x)=2x-90
Consideriamo ora il triangolo ACH, (A e' l'estremo del cateto minore, quindi dei due estremi dell'ipotenusa, quello piu' vicino a H e piu' lontano da M)
Il triangolo ACH e' rettangolo (Ch e' l'altezza relativa ad AB quindi e' perpendicolare ad AB.
L'angolo ACH misurera' 90-x (quindi e' uguale all'angolo in B, ma non ci interessa ;) )
Considera ora questa particolarita'... Il punto medio dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo e' anche il centro della circonferenza circoscritta (circocentro) punto di incontro degli assi..
Questo significa che il punto medio dell'ipotenusa (equidistante da A e da B) e' anche equidistante da C, in quanto anche MC e' un raggio della circonferenza circoscritta (di centro M) (proprieta' della mediana relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo dice che la lunghezza della mediana e' pari a meta' dell'ipotenusa, e quindi CM=AM=BM)
Considera dunque il triangolo AMC. Esso e' isoscele.
quindi l'angolo ACM sara' uguale all'angolo CAM (angoli alla base del triangolo isoscele AMC di base AC)
Quindi misurera' x.
E dunque l'angolo HCM sara' l'angolo ACM - l'angolo ACH, quindi x-(90-x)=x-90+x=2x-90 che e' proprio la differenza degli angoli A (x) - B (90-x) che ti ho scritto in grassetto sopra
Considera il triangolo rettangolo ABC
L'angolo C e' 90, quindi l'angolo in B (ovvero l'angolo ABC) sara'180-90-x=90-x
L'angolo BPA e', per ipotesi, 2x
L'angolo BPC e' supplementare a 2x, quindi sara' 180-2x ovvero (raccogliendo un 2) 2(90-x) che e' proprio il doppio di 90-x ovvero dell'angolo ABC
Aggiunto 12 minuti più tardi:
2)chiama l'angolo in A, x
L'angolo B sara' (come prima) 90-x
La loro differenza sara' x-(90-x)=2x-90
Consideriamo ora il triangolo ACH, (A e' l'estremo del cateto minore, quindi dei due estremi dell'ipotenusa, quello piu' vicino a H e piu' lontano da M)
Il triangolo ACH e' rettangolo (Ch e' l'altezza relativa ad AB quindi e' perpendicolare ad AB.
L'angolo ACH misurera' 90-x (quindi e' uguale all'angolo in B, ma non ci interessa ;) )
Considera ora questa particolarita'... Il punto medio dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo e' anche il centro della circonferenza circoscritta (circocentro) punto di incontro degli assi..
Questo significa che il punto medio dell'ipotenusa (equidistante da A e da B) e' anche equidistante da C, in quanto anche MC e' un raggio della circonferenza circoscritta (di centro M) (proprieta' della mediana relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo dice che la lunghezza della mediana e' pari a meta' dell'ipotenusa, e quindi CM=AM=BM)
Considera dunque il triangolo AMC. Esso e' isoscele.
quindi l'angolo ACM sara' uguale all'angolo CAM (angoli alla base del triangolo isoscele AMC di base AC)
Quindi misurera' x.
E dunque l'angolo HCM sara' l'angolo ACM - l'angolo ACH, quindi x-(90-x)=x-90+x=2x-90 che e' proprio la differenza degli angoli A (x) - B (90-x) che ti ho scritto in grassetto sopra
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