Problema Geometria (33427)

[Mack]

Non mi viene questo problema,potete darmi una mano?

Nel triangolo isoscele ABC,la base Bc è congruente all'altezza AH a essa relativa:si sa inoltre che la differenza fra i 3/4 di BC e i 2/3 di AH è 4 cm.Determinare il diametro della circonferenza circoscritta al triangolo

Il risultato è 60 cm

Se mi potete dire il procedimento ve ne sarei grato

[BIT5]

Dal momento che BC e' congruente a AH, la relazione

[math] \frac{3}{4} \bar{BC}- \frac{2}{3} \bar{AH}=4cm [/math]

Si puo' scrivere come

[math] \frac{3}{4} \bar{BC}- \frac{2}{3} \bar{BC}=4cm [/math]

Da cui

[math] \bar{BC}=48cm [/math]

Il triangolo e' isoscele, pertanto l'altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli equivalenti, aventi come cateti l'altezza e meta' della base.

Il lato obliquo, con Pitagora, sara'

[math] \sqrt{ \bar {BH}^2+ \bar {AH}^2}=24 \sqrt5[/math]

Traccia l'asse del lato AB (ovvero la perpendicolare al lato obliquo passante per il suo punto medio). Il punto di incontro tra l'asse e l'altezza AH (che nel triangolo isoscele e' anche asse) sara' il circocentro (ovvero il centro della circonferenza circoscritta)

Chiama K il piede dell'asse relativo al lato obliquo e O il circocentro.

AO sara' il raggio della circonferenza circoscritta

Il triangolo AOK e' simile al triangolo ABH dal momento che sono entrambi rettangoli e condividono l'angolo in A.

Il triangolo AOK avra' il cateto AK=1/2 AB.

Quindi

[math]\bar {AH}: \bar {AB}= \bar {AK} : \bar {AO} [/math]

Da cui

[math] \bar {AO}= \frac{ \bar {AB} \cdot \bar{AK}}{ \bar {AH}} [/math]

E pertanto

[math] \bar {AO}= \frac{24 \sqrt{5} \cdot 12 \sqrt{5}}{48}=30cm [/math]

E pertanto il diametro sara' il doppio del raggio (60cm)