Problema geometria
' Un trapezio isoscele con perimetro di $136cm$ è circoscritto a una circonferenza. Determina i lati del trapezio se la somma del lato obliquo e del raggio è $49cm$. '
Brancolo nel buio: la mia intenzione era quella di esprimere in funzione del lato obliquo (che chiamo $x$) la base minore $y$ e la base maggiore $z$, ma non so come fare.
Le uniche due relazioni che ho trovato sono le seguenti:
$2x + y + z = 136$
$ z+y=2x$, per il teorema dei poligoni circoscritti.
Brancolo nel buio: la mia intenzione era quella di esprimere in funzione del lato obliquo (che chiamo $x$) la base minore $y$ e la base maggiore $z$, ma non so come fare.
Le uniche due relazioni che ho trovato sono le seguenti:
$2x + y + z = 136$
$ z+y=2x$, per il teorema dei poligoni circoscritti.
Risposte
Prosegui passo dopo passo.
Comincia a postare qui un disegno del problema con i nomi che vuoi dare ai vari lati.
A quel punto si valuta dove si vuole arrivare e si vede piano piano quale strada occorre prendere, come in tutti i problemi.
Aspetto un tuo disegno, se è possibile in FCJ.
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A quel punto si valuta dove si vuole arrivare e si vede piano piano quale strada occorre prendere, come in tutti i problemi.
Aspetto un tuo disegno, se è possibile in FCJ.
"Ianero":
Prosegui passo dopo passo.
Comincia a postare qui un disegno del problema con i nomi che vuoi dare ai vari lati.
A quel punto si valuta dove si vuole arrivare e si vede piano piano quale strada occorre prendere, come in tutti i problemi.
Aspetto un tuo disegno, se è possibile in FCJ.
Scusa l'ignoranza,cosa intendi per FCJ?
Se faccio una foto col telefonino e la posto va bene uguale?
Comunque guarda mostrare il disegno credo sia superfluo: ho semplicemente disegnato un trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza. Ho chiamato x i due lati obliqui, y la base minore e z la base maggiore. Mi servirebbe soltanto capire come posso esprimere in funzione di x gli altri due lati.
Io l'avevo risolto usando un pò di angoli, posto nel caso possa interessare.
[fcd="disegno"][FIDOCAD]
EV 135 75 180 120 0
LI 124 120 142 75 0
LI 124 120 191 120 0
LI 142 75 173 75 0
LI 191 120 173 75 0
TY 124 105 4 3 0 0 0 * x
TY 188 104 4 3 0 0 0 * x
TY 156 124 4 3 0 0 0 * z
TY 157 67 4 3 0 0 0 * y
LI 158 98 180 98 0
SA 158 98 0
TY 166 92 4 3 0 0 0 * r
BE 127 112 128 114 131 116 130 119 0
TY 133 114 4 3 0 0 0 * φ[/fcd]
\(\displaystyle x=\frac{2r}{\sin \phi} \)
\(\displaystyle y=2r\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \)
\(\displaystyle z=2r\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)+4r\cot (\phi) \)
dove $r$ e $\phi$ si ricavano dalle due equazioni che ha riportato @HowardRoark.
[fcd="disegno"][FIDOCAD]
EV 135 75 180 120 0
LI 124 120 142 75 0
LI 124 120 191 120 0
LI 142 75 173 75 0
LI 191 120 173 75 0
TY 124 105 4 3 0 0 0 * x
TY 188 104 4 3 0 0 0 * x
TY 156 124 4 3 0 0 0 * z
TY 157 67 4 3 0 0 0 * y
LI 158 98 180 98 0
SA 158 98 0
TY 166 92 4 3 0 0 0 * r
BE 127 112 128 114 131 116 130 119 0
TY 133 114 4 3 0 0 0 * φ[/fcd]
\(\displaystyle x=\frac{2r}{\sin \phi} \)
\(\displaystyle y=2r\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \)
\(\displaystyle z=2r\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)+4r\cot (\phi) \)
dove $r$ e $\phi$ si ricavano dalle due equazioni che ha riportato @HowardRoark.
Io l'avevo risolto usando un pò di angoli...
Era una risposta a @melia, che credo abbia eliminato il suo messaggio.
"HowardRoark":
Scusa l'ignoranza,cosa intendi per FCJ?
FidoCadJ, il software con cui ho disegnato io adesso.
Non so perché tutte queste incognite. Il lato obliquo si ottiene immediatamente:
$136:4=34$, perché la somma dei due lati obliqui uguali è uguale alla somma delle basi, $2x=136:2 -> x=136:4=34$.
Hai anche il raggio $r=49-34=15$.
Adesso, se congiungi sia gli estremi di un lato obliquo che il punto di tangenza con il centro del cerchio ottieni un triangolo rettangolo in cui la congiungente il centro con il punto di tangenza è sia altezza relativa all'ipotenusa del triangolo sia raggio del cerchio. Inoltre i due pezzi in cui il raggio divide il lato sono ciascuno metà della base adiacente, per cui, usando Euclide, ottieni $15^2=y/2*z/2$, dalle precedenti equazioni che avevi proposto ottieni $y+z=68$. Delle due incognite conosci sia la somma che il prodotto e con un'equazione di secondo grado le ricavi entrambe.
$136:4=34$, perché la somma dei due lati obliqui uguali è uguale alla somma delle basi, $2x=136:2 -> x=136:4=34$.
Hai anche il raggio $r=49-34=15$.
Adesso, se congiungi sia gli estremi di un lato obliquo che il punto di tangenza con il centro del cerchio ottieni un triangolo rettangolo in cui la congiungente il centro con il punto di tangenza è sia altezza relativa all'ipotenusa del triangolo sia raggio del cerchio. Inoltre i due pezzi in cui il raggio divide il lato sono ciascuno metà della base adiacente, per cui, usando Euclide, ottieni $15^2=y/2*z/2$, dalle precedenti equazioni che avevi proposto ottieni $y+z=68$. Delle due incognite conosci sia la somma che il prodotto e con un'equazione di secondo grado le ricavi entrambe.
"Ianero":
[
Era una risposta a @melia, che credo abbia eliminato il suo messaggio.
Avevo usato una via troppo tortuosa e fatto un errore di calcolo. Ho ripostato il messaggio, corretto.
Cristallino, ti ringrazio molto. Solo una cosa: perché
O meglio: hai intuito la cosa perché $ 2x = y+z$ o hai usato qualche teorema particolare?
"@melia":?
i due pezzi in cui il raggio divide il lato sono ciascuno metà della base adiacente
O meglio: hai intuito la cosa perché $ 2x = y+z$ o hai usato qualche teorema particolare?
Ho usato il teorema delle tangenti: se da un punto esterno ad una circonferenza (in questo caso uno dei vertici del trapezio) si portano le tangenti alla circonferenza i segmenti di tangente ottenuti sono congruenti.
Tutto chiaro. Grazie!
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