Problema Geometria

[lupomatematico]

Sto cercando di risolvere il seguente problema di Geometria:
ho un quadrilatero ABCD con:
gli angoli A e C entrambi retti; le diagonali sono perpendicolari tra loro.
Devo dimostrare che i triangoli rettangoli ADB e DBC sono congruenti.
Senza utilizzare i teoremi di Euclide e costruzioni di circonferenze come si può dimostrare?

[Luca114]

Ciao, se un quadrilatero ha le diagonali perpendicolari può essere:
- un rombo particolare (quadrato);
- un deltoide;
- un trapezio
- un quadrilatero generico
Forse ce ne sono altri ma l'intuito ti fa capire che bastano questi per ragionare.
Non esiste un trapezio con due angoli retti non consecutivi, quindi è da escludere; neppure un deltoide non può averli, perciò è da escludere anche lui.
Quindi ti resta il quadrato, che soddisfa le proprietà enunciate.
Naturalmente queste affermazioni andrebbero dimostrate, ma non credo che il libro lo richieda quindi chiudiamo un occhio e riteniamole vere.
Perciò una volta capito che si tratta di un quadrato sarà per te facile concludere.

[gio73]

"Luca":
Non esiste un trapezio con due angoli retti non consecutivi, quindi è da escludere; neppure un deltoide non può averli, perciò è da escludere anche lui.

Non sono d'accordo. Prova a disegnare sul tuo quaderno una retta obliqua che scende di due quadretti ogni volta che avanza di 1, poi disegna una sua perpendicolare, in questo caso la retta sale di un quadretto quando avanza di 2, traccia una retta verticale (aiutati con la quadrettatura del foglio) che le intersechi entrambe, otterrai un triangolo rettangolo in cui il segmento verticale è l'ipotenusa. Disegna il suo simmetrico rispetto all'ipotenusa, ripassa con un colore (verde, rosso, giallo...) i cateti, otterrai un quadrilatero con due angoli retti non consecutivi e con le diagonali perpendicolari, ma direi che non è un quadrato.

[@melia]

Stavo per risponderti, il deltoide o aquilone, che si ottiene unendo un triangolo rettangolo con il suo simmetrico rispetto all'ipotenusa verifica le ipotesi dell'esercizio.

Puoi usare le simmetrie del piano?