PROBLEMA GEOM-SIMILITUDINE,PARALLELOGRAMMA...

[LittleWoman.]

perfavore aiutatemi!! come si fà questo problema??

[Max 2433/BO]

Dimostrazione:

I triangoli BWX e ZWY sono simili per il I° Criterio di similitudine (Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti... il terzo è ovviamente congruente anche lui!):

Angolo XWB = Angolo ZWY (opposto al vertice)

Angolo XBW = Angolo YZW (Alterni interni di rette parallele, AB e ZY, tagliate da trasversale, BZ)

Quindi i lati saranno tra loro in proporzione, ma il problema ci dice già il rapporto di proporzione: XW:WY = 2:1

Per cui anche BX:YZ = 2:1 cioè:

BX = 2*YZ

ma se AB = BX + XA e XA = YZ (lati opposti del parallelogramma AXYZ) allora:

AB = 3*YZ

Quindi i lati del parallelogramma ABCD sono il triplo dei lati del parallelogramma AZXY, di conseguenza, quindi, per il t. di proporzionalità tra le aree di poligoni simili, vale che:

Area ABCD : Area AZXY = (lato ABCD)^2 : (lato AZXY)^2

ma il lato ABCD = 3*(lato AZXY) per cui

Area ABCD : Area AZXY = [3*(lato AZXY)]^2 : (lato AZXY)^"

e cioè

Area ABCD : Area AZXY = 9 : 1

... ecco a te la prima risposta.

Per la costruzione di AZXY partendo da un qualunque parallelogramma ABCD senza usare una misura diretta presumo, ma mediante costruzione geometrica, ci devo ancora ragionare un po' sopra...

... appena mi viene in mente ti scrivo!!

:hi

Massimiliano

Aggiunto 31 minuti più tardi:

Trovato, guarda la figura allegata:

Dato il parallelogramma ABCD, prolunghiamo il lato BC, da B, di un segmento BH = 2BC.

Consideriamo i triangoli CHD e BHZ: essi sono simili sempre per il I° criterio di similitudine:

Angolo H in comune

Angolo HBZ = Angolo HCD (Angoli corrispondenti di rette parallele, AB e CD, tagliate da trasversale CH)

Quindi possiamo mettere i lati in proporzione:

per costruzione abbiamo imposto BH = 2BC per cui CH = CB + BH = 3BC

CH : BH = 3BC : 2BC

CH : BH = 3 : 2

di conseguenza

DC : BZ = 3 : 2 da cui

BZ = (2/3)DC

ma AB = AZ + BZ e AB = DC (lati opposti di un parallelogramma) per cui possiamo scrivere:

AB = AZ + (2/3)AB

e infine

AZ = AB - (2/3)AB = 1/3 AB

abbiamo ricavato il lato AZ peri ad 1/3 di AB come volevamo.

Lo stesso discorso si fa con la costruzione del punto K fatto esattamente come il punto H, cioè DK = 2DC, e con lo stesso procedimento si ricava che:

AW = 1/3 AD

Tracciando poi, da W la parallela a AB (o DC) e da Z la parallela a AD ( o BC) si ottiene all'intersezione delle due, il punto Y.

Abbiamo così dimostrato come costruire il parallelogramma AZYW a partire da un qualsiasi parallelogramma ABCD.

:hi

Massimiliano