Problema ellissi

[morettinax]

ciao a tutti volevo chiedervi se mi potreste spiegare questi due problemi...non riesco proprio a farli uff... grazie in aticipo!

DI UN'ELLISSE CON I FUOCHI SULL'ASSE X SI SA CHE LA SOMMA DEGLI ASSI è 15 E CHE L'ECCENTRICITà VALE

[math]\frac{2}{3}sqrt{2}[/math]

.TROVA LA SUA EQUAZIONE.

io ho fatto il sistema e ho posto:
2a+2b=16

[math]\frac{2}{3}sqrt{2}=[math]\frac{c}{a}[/math]

.
c= a^2 + b^2

MA NON MI TROVO QUAL è IL PROCEDIMENTO GIUSTO?


L'ALTRO PROBLEMA è
DATA L'ELLISSE DI EQUAZIONE 4X^2+9Y^2=1, DETERMINA PERQUALI VALORI DI K LE RETTE DEL FASCIO DI EQUAZIONE Y=2X+K INTERSECANO L'ELLISSE.

QUESTO NON L'HO CAPITO!

Aggiunto 20 minuti più tardi:

e il secondo problema cm si fa?

Aggiunto 1 ore 9 minuti più tardi:

grazie mille!

[BIT5]

essendo 2a+2b=16 avremo che (dividendo tutto per 2) a+b=8 da cui b=8-a

dalla seconda ricavi invece che

[math] c= \frac23 a \sqrt2 [/math]

sostituendo alla terza avrai

[math] \frac23 a \sqrt2 = \sqrt{ a^2+(8-a)^2} [/math]

da cui elevando al quadrato ambo i membri

[math] \frac89a^2 = a^2 + 64-16a+a^2 \to \frac{10}{9}a^2-16a+64 = 0 \to \\ \\ \\ \to 10a^2-144a+ 576 = 0 \to 5a^2-72a+ 288 = 0[/math]

da qui ricavi a con la formula e poi di conseguenza b e c

Aggiunto 2 minuti più tardi:

dei valori di a che trovi (ne trovi due) dovrai scegliere solo quello tale che a>b, perche' rispondono agli stessi requisiti due ellissi, ma quella con b>a ha i fuochi sull'asse y.

Hai scritto nel testo "somma assi 15" ma poi nella soluzione hai messo 2a+2b=16

Io ho fatto con 16, ma se fosse 15 il procedimento e' identico

Aggiunto 53 minuti più tardi:

Si tratta di trovare i generici punti di intersezione tra l'ellisse e il fascio.

Per prima cosa facciamo una valutazione sul fascio.
Dal momento che il parametro k non compare nel coefficiente di x (che e' 2) le rette del fascio sono tutte parallele.

Detto questo troviamo le intersezioni tra le rette e l'ellisse

[math] \{4x^2+9y^2=1 \\ y=2x+k [/math]

sostituiamo la seconda nella prima

[math] 4x^2+9(2x+k)^2=1 \to 4x^2+9(4x^2+4xk+k^2)=1 \to \\ \\ \\ \to 4x^2+36x^2+36xk+9k^2-1=0 [/math]

e dunque

[math] 40x^2+36xk+9k^2-1 = 0 [/math]

le soluzioni dell'equazione (parametrica) di secondo grado esprimono i valori delle ascisse dei punti di intersezione.

Quando l'equazione non ha soluzioni, significa che la retta non interseca l'ellisse.

Quando ha soluzioni, invece, significa che la retta ha intersezioni.

Un'equazione di secondo grado ha soluzioni quando il delta e' > di 0 (due soluzioni distinte, quindi due punti di intersezione distinti) o = 0 (due soluzioni coincidenti, quindi retta tangente).

pertanto porremo

[math] \Delta \ge 0 \to (36k)^2 - 4 (40)(9k^2-1) \ge 0 [/math]

e quindi

[math] 1296k^2-1440k^2+160 \ge 0 \to -144k^2+160 \ge 0 \to k^2 \ge \frac{10}{9} [/math]

e dunque

[math] k \le - \frac{\sqrt{10}}{3} \cup k \ge \frac{\sqrt{10}}{3} [/math]

per i valori di k dell'intervallo, le rette saranno secanti (e in particolare per

[math] k= \pm \frac{\sqrt{10}}{3} [/math]

le rette saranno tangenti)

Ricontrolla i conti, ma il procedimento e' corretto