Problema Ellisse Funzioni
Buongiorno, chi mi aiuta con questo esercizio? , grazie.
Risposte
Ciao luca,
di seguito ti riporto la risoluzione, ma prima prova a farlo in modo autonomo:
(osservazione: chiamo con sqrt[argomento] la radice quadrata dell'argomento e con ''pi'' la lettera greca pi greco)
a)Per tracciare il grafico di una funzione generica bisogna fare lo studio di una funzione. Tuttavia, ricordando l'espressione analitica dell'ellisse, questo studio si semplifica notevolmente:
Espressione analitica della generica ellissi:
X^2/a^2+Y^2/b^2=1
dove a e b sono i semiassi dell'ellisse.
In tal notiamo che le funzioni f(X) e g(X) rappresentano due ellissi che per visualizzare meglio eleviamo al quadrato:
1)X^2/9+f(X)^2/4=1 con a1=3 e b1=2
2)X^2/9+g(X)^2/16=1 con a2=3 e b2=4
per rispondere dunque alla richiesta disegniamo la prima ellisse nel primo e nel secondo quadrante e la seconda ellisse nel terzo e nel quarto quadrante.
b)sapendo che l'area dell'ellisse generica è a*b*pi, l'area A della regione di piano compresa tra le due funzioni è la semisomma delle aree delle due ellissi:
A=(a1*b1+a2*b2)*pi/2=(3*2+3*4)*pi/2=9*pi
c)questo quesito si risolve graficamente dove e' di immediata soluzione il dominio in cui la retta r parallela all'asse delle ordinate intercetta le due funzioni:
t e' compreso tra [-3;+3] (estremi inclusi)
d)siccome i punti P e Q appartengono a r, allora avranno sempre la stessa ascissa e quindi la distanza tra di essi sarà la somma algebrica delle loro ordinate che esprimiamo come:
f(t)-g(t)
e quindi risolviamo il quesito imponendo tale somma pari a 4:
f(t)-g(t)=4
sqrt[9-t^2]*(2/3+4/3)=4
t=+-sqrt[5]
e)sfruttando parte delle informazioni dal quesito precedente, possiamo scrivere PQ^" come:
PQ^2=(f(t)-g(t))^2=(2*sqrt[9-t^2])^2=4*(9-t^2)
invece il segmento PH lo scriviamo come la distanza del punto P dalla retta X=-3:
ricordando che la distanza di un punto P da una generica retta a*x+b*y+c=0 (in forma esplicita), nel caso particolare si ha che :
PH=t+3
il cui quadrato è:
PH^2=(t+3)^2=t^2+9+6*t
quindi la funzione finale somma dei quadrati delle due distanze z(t) si esprime come:
z(t)=PQ^2+PH^2=4*(9-t^2)+t^2+9+6*t
z(t)=-3*t^2+6*t+45
infine si richiede la determinazione del massimo della funzione. Si individua subito che la funzione è una parabola rovesciata e quindi il suo massimo corrisponde alla posizione del vertice che si puo' determinare sia applicando la definizione del vertice della generica parabola oppure attraverso lo studio dei massimi di una funzione(applicheremo il secondo metodo):
la posizione del massimo si determina studiando gli zeri della derivata della funzione:
d(z(t))/dt=0
-6*t+6=0
t=1
e quindi:
z(1)=48
fammi sapere se qualcosa non e' chiaro e buono studio :D
di seguito ti riporto la risoluzione, ma prima prova a farlo in modo autonomo:
(osservazione: chiamo con sqrt[argomento] la radice quadrata dell'argomento e con ''pi'' la lettera greca pi greco)
a)Per tracciare il grafico di una funzione generica bisogna fare lo studio di una funzione. Tuttavia, ricordando l'espressione analitica dell'ellisse, questo studio si semplifica notevolmente:
Espressione analitica della generica ellissi:
X^2/a^2+Y^2/b^2=1
dove a e b sono i semiassi dell'ellisse.
In tal notiamo che le funzioni f(X) e g(X) rappresentano due ellissi che per visualizzare meglio eleviamo al quadrato:
1)X^2/9+f(X)^2/4=1 con a1=3 e b1=2
2)X^2/9+g(X)^2/16=1 con a2=3 e b2=4
per rispondere dunque alla richiesta disegniamo la prima ellisse nel primo e nel secondo quadrante e la seconda ellisse nel terzo e nel quarto quadrante.
b)sapendo che l'area dell'ellisse generica è a*b*pi, l'area A della regione di piano compresa tra le due funzioni è la semisomma delle aree delle due ellissi:
A=(a1*b1+a2*b2)*pi/2=(3*2+3*4)*pi/2=9*pi
c)questo quesito si risolve graficamente dove e' di immediata soluzione il dominio in cui la retta r parallela all'asse delle ordinate intercetta le due funzioni:
t e' compreso tra [-3;+3] (estremi inclusi)
d)siccome i punti P e Q appartengono a r, allora avranno sempre la stessa ascissa e quindi la distanza tra di essi sarà la somma algebrica delle loro ordinate che esprimiamo come:
f(t)-g(t)
e quindi risolviamo il quesito imponendo tale somma pari a 4:
f(t)-g(t)=4
sqrt[9-t^2]*(2/3+4/3)=4
t=+-sqrt[5]
e)sfruttando parte delle informazioni dal quesito precedente, possiamo scrivere PQ^" come:
PQ^2=(f(t)-g(t))^2=(2*sqrt[9-t^2])^2=4*(9-t^2)
invece il segmento PH lo scriviamo come la distanza del punto P dalla retta X=-3:
ricordando che la distanza di un punto P da una generica retta a*x+b*y+c=0 (in forma esplicita), nel caso particolare si ha che :
PH=t+3
il cui quadrato è:
PH^2=(t+3)^2=t^2+9+6*t
quindi la funzione finale somma dei quadrati delle due distanze z(t) si esprime come:
z(t)=PQ^2+PH^2=4*(9-t^2)+t^2+9+6*t
z(t)=-3*t^2+6*t+45
infine si richiede la determinazione del massimo della funzione. Si individua subito che la funzione è una parabola rovesciata e quindi il suo massimo corrisponde alla posizione del vertice che si puo' determinare sia applicando la definizione del vertice della generica parabola oppure attraverso lo studio dei massimi di una funzione(applicheremo il secondo metodo):
la posizione del massimo si determina studiando gli zeri della derivata della funzione:
d(z(t))/dt=0
-6*t+6=0
t=1
e quindi:
z(1)=48
fammi sapere se qualcosa non e' chiaro e buono studio :D
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo