Problema ellisse

[Lorin1]

Le intersezioni delle rette $y=2/3x , y=-2/3x$ con l'ellisse generica $x^2/(a^2) + y^2/(b^2) = 1$

determinano un rettangolo il cui perimetro misura 20. Scrivere l'equazione dell'ellisse sapendo che passa per il punto $A(4,-1)$ e l'equazione della tangente in $A$.


Ora la difficoltà che ho trovato nello svolgimento è che, una volta fatto il disegno, per trovare l'eq. dell'ellisse ho una sola condizione da imporre nel sistema, ovvero $in A(4,-1)$. Mi date un aiutino per trovare la seconda condizione, in modo da riuscire a trovare l'equazione dell'ellisse?

Vi ringrazio.

[Raptorista1]

Dunque, spero di non dire una stupidaggine, ma se l'equazione è di quel tipo, l'ellisse ha centro nell'origine, e questa è la seconda condizione da mettere nel sistema.
poi prendi un punto generico su ciascuna delle rette, per esempio $P (Xp; 2/3x)$ con P appartenente alla prima retta e Q nello stesso modo sull'altra retta.
poi scrivi l'equazione del perimetro del rettangolo ed imponi il risultato 20 dato dal problema.

spero di esserti stato utile!

[Lorin1]

Ok ora provo. Per la condizione credo che userò uno di questi due punti perchè la condizione che passa per l'origine la vedo un pò incerta, perchè se metto $(0,0)$ nell'equazione generica dell'ellisse mi trovo che $0=1$ cosa impossibile.

[Lorin1]

Ho provato ma con scarsi risultati....forse non ho capito bene il procedimento suggerito da Raptorista....

C'è qualcuno che con un pò di pazienza mi suggerisce qualcosa meglio?

Thanx

[_nicola de rosa]

"Lorin":Le intersezioni delle rette $y=2/3x , y=-2/3x$ con l'ellisse generica $x^2/(a^2) + y^2/(b^2) = 1$

determinano un rettangolo il cui perimetro misura 20. Scrivere l'equazione dell'ellisse sapendo che passa per il punto $A(4,-1)$ e l'equazione della tangente in $A$.


Ora la difficoltà che ho trovato nello svolgimento è che, una volta fatto il disegno, per trovare l'eq. dell'ellisse ho una sola condizione da imporre nel sistema, ovvero $in A(4,-1)$. Mi date un aiutino per trovare la seconda condizione, in modo da riuscire a trovare l'equazione dell'ellisse?

Vi ringrazio.

Le intersezioni dell'ellisse con la retta $y=2/3 x$ fornisce i due punti di coordinate $E=((3ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)),(2ab)/(sqrt(4a^2+9b^2))),B=(-(3ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)),-(2ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)))$ mentre le intersezioni dell'ellisse con la retta $y=-2/3 x$ fornisce i due punti di coordinate $C=((3ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)),-(2ab)/(sqrt(4a^2+9b^2))),D=(-(3ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)),+(2ab)/(sqrt(4a^2+9b^2)))$.

Il perimetro è $2p=2EC+2CB$ con $EC=|(4ab)/(sqrt(4a^2+9b^2))|$ e $CB=|(6ab)/(sqrt(4a^2+9b^2))|$ per cui $2p=(20|ab|)/(sqrt(4a^2+9b^2))$. Imponendo $2p=20$ si ricava la condizione $4a^2+9b^2-a^2b^2=0$. Inoltre il passaggio per $ A(4,-1)$ comporta $16b^2+a^2-a^2b^2=0$. Bisogna risolvere il sistema ${(4a^2+9b^2-a^2b^2=0),(16b^2+a^2-a^2b^2=0):}$ che risolto fornisce ${(a^2=55/3),(b^2=55/7):}$ per cui l'ellisse ha equazione $(3/55)x^2+(7/55)y^2=1$

La retta passante per $A(4,-1)$ ha equazione $y=mx-4m-1$. Intersecando la retta con l'equazione dell'ellisse si ha $3x^2+7(mx-4m-1)^2-55=0$ da cui $x^2(3+7m^2)-14x(m+4m^2)+(112m^2+56m-48)=0$ ed imponendo $Delta=0$ si ha $49(16m^4+8m^3+m^2)-(3+7m^2)(112m^2+56m-48)=0$ da cui $49m^2-168m+144=(7m-12)^2=0$ e quindi $m=12/7$ da cui la tangente $y=12/7 x-55/7$

[Lorin1]

ok tutto più chiaro adesso....ti ringrazio

[Raptorista1]

@nicola: l'idea era di dargli un piccolo input per farlo ragionare e far fare a lui l'esercizio... XD