Problema Ellisse

[smemo89]

Ciao a tutti. Devo svolgere questo problema sull'ellisse e poichè non ne svolgo da parecchio non so che fare. Allora, il testo del problema è: Un'ellisse, riferita ai propri assi di simmetria, passa per i punti di coordinate (3;4) e (-4;2); dopo averne scritto l'equazione, calcolare la misura dell'area del quadrato inscritto nell'ellisse.
Ora, naturalmente, non voglio che mi risolviate il problema, ma voglio solo delle "direttive" per svolgerlo, magari dicendo "qualche" formula.
Vi Ringrazio in anticipo per l'aiuto che mi offrirete. Grazie & Ciao.

[Sk_Anonymous]

Imponi l'appartenenza dei due punti all'ellisse la cui equazione generale è $x^2/a^2 +y^2/b^2=1$, ti viene un sistema di due equazioni in due incognite, con un po' di calcoli trovi $a^2$ e $b^2$.
Per trovare le coordinate del quadrato inscritto, siccome sia il quadrato che la conica sono simmetrici rispetto agli assi cartesiani, ti conviene intersecare l'ellisse con le bisettrici dei quadranti, così trovi abbastanza semplicemente i vertici del quadrato.
Ciao

[smemo89]

Ciao. Se ho capito bene devo fare il sistema tra: $9/a^2+16/b^2=1$ e $16/a^2+4/b^2=1$ . Ora, però, ho dei problemi nel svolgerlo: cioè, ad esempio, la prima diventa: $1/9a^2+1/16b^2=1$ e la seconda: $1/16a^2+1/4b^2=1$ ?

[_nicola de rosa]

"smemo89":Ciao. Se ho capito bene devo fare il sistema tra: $9/a^2+16/b^2=1$ e $16/a^2+4/b^2=1$ . Ora, però, ho dei problemi nel svolgerlo: cioè, ad esempio, la prima diventa: $1/9a^2+1/16b^2=1$ e la seconda: $1/16a^2+1/4b^2=1$ ?

$9/a^2+16/b^2=1 <=> 9b^2+16a^2=a^2b^2$ supponendo $a^2!=0,b^2!=0$
$16/a^2+4/b^2=1 <=> 16b^2+4a^2=a^2b^2$ supponendo $a^2!=0,b^2!=0$

Dal confronto si ricava: $9b^2+16a^2=16b^2+4a^2 <=>a^2=7/12b^2$ che sostituita nella prima relazione ($9b^2+16a^2=a^2b^2$) fornisce: $9b^2+16(7/12b^2)=(7/12b^2)b^2$ da cui
$9b^2+28/3b^2=7/12b^4 <=> 55/3b^2=7/12b^4 <=> 220b^2-7b^4=0 <=>b^2=0 v b^2=220/7$

Escludendo $b^2=0$ la soluzione accettabile è $b^2=220/7 => a^2=7/12(220/7)=55/3$

Per cui l'ellisse è $x^2/(55/3)+y^2/(220/7)=1$ $<=>$ $12x^2+7y^2=220$

Per il quadrato inscritto: interseca l'ellisse con la retta generica di equazione $y=k$ con $-sqrt(220/7) Troverai i seguenti vertici (a partire dal primo quadrante) A,B,C,D:

$A=(sqrt((220-7k^2)/12),k)$
$B=(-sqrt((220-7k^2)/12),k)$
$C=(-sqrt((220-7k^2)/12),-k)$
$D=(sqrt((220-7k^2)/12),-k)$

Imponendo $AB=BC$ ed elevando al quadrato si ricava $4(220-7k^2)/12=4k^2 =>k=+-sqrt(220/19)$ per cui il lato del quadrato sarà pari a $2sqrt(220/19)$ ed il perimetro è $2p=4*2sqrt(220/19)=8sqrt(220/19)$