Problema ellisse
L'elisse di equazione 2x^2+3y^2=35 passa per due punti A e B (xA
Sapendo che P è simmetrico rispetto ai due punti sono solo riuscita a ricavare che xA+xB=2xP xA+xB=2 e analogamente yA+yB=4
A(-2;3) B(4;1)
2)il luogo dei punti medi delle corde dell'ellisse parallele ad AB
il segmento sulla retta y=2x di estremi
radice quadrata di 5)/2;-(radice quadrata di 5)] [(radice quadrata di 5)/2;(radice quadrata di 5)]
Grazie in anticipo
Sapendo che P è simmetrico rispetto ai due punti sono solo riuscita a ricavare che xA+xB=2xP xA+xB=2 e analogamente yA+yB=4
A(-2;3) B(4;1)
2)il luogo dei punti medi delle corde dell'ellisse parallele ad AB
il segmento sulla retta y=2x di estremi
radice quadrata di 5)/2;-(radice quadrata di 5)] [(radice quadrata di 5)/2;(radice quadrata di 5)]Grazie in anticipo
Risposte
Prova a considerare la generica retta passante per P. Individua i due punti di intersezione con l'ellisse ( risulteranno in funzione solo del coefficiente angolare m della retta), imponi che la distanza di questi due punti da P sia uguale...
... invece di considerare la distanza, è più semplice, una volta determinate le coordinate di A e B in funzione di m considerare la seguente equazione:
$X_B-1=1-X_A$
che risolta dovrebbe darti per m il valore $-1/3$...
... invece di considerare la distanza, è più semplice, una volta determinate le coordinate di A e B in funzione di m considerare la seguente equazione:
$X_B-1=1-X_A$
che risolta dovrebbe darti per m il valore $-1/3$...
1)Abbiamo due equazioni da te scritte:
xA+xB=2 e yA+yB=4
Ma A e B devono appartenere all'ellisse, per cui si hanno altre due equazioni
2(xA^2)+3(yA^2)=35
2(xB^2)+3(yB^2)=35
Sottraiamo alla seconda la prima e otteniamo
2(xB^2-xA^2)+3(yB^2-yA^2)=0 cioè
2(xB-xA)(xA+xB)=3(yA-yB)(yA+yB)
Ma sappiamo che xA+xB=2 e yA+yB=4 per cui l'equazione si scrive:
4(xB-xA)=12(yA-yB) cioè (xB-xA)=3(yA-yB)
Ora xB=2-xA e yB=4-yA da cui
(xB-xA)=3(yA-yB) può essere riscritta come
2(1-xA)=6(yA-2) da cui yA=(7-xA)/3
Ora sostituiamo yA=(7-xA)/3 nell'equazione 2(xA^2)+3(yA^2)=35, si ha:
2(xA^2)+((7-xa)^2)/3=35 da cui
6xA^2+49+xA^2-14xA=105 e cioè
7xA^2-14xA-56=0 da cui xA^2-2xA-8=0 da cui
xA=4 U xA=-2
Ora xA=4 implica xB=-2 mentre
xA=-2 implica xB=4
Poichè deve essere xB>xA allora
xB=4 e xA=-2.
Quindi
yA=(7+2)/3=3 e yB=4-yA=1
Per cui in conclusione
A=(-2,3) e B=(4,1)
2)
La retta AB ha equazione y=7/3-x/3 cioè ha coefficiente angolare -1/3 per cui una generica retta parallela ad AB ha equazione
y=-x/3+q
Siano C=(xc,q-xc/3) e D=(xd,q-xd/3) gli estremi di tale corda, allora il punto medio P ha coordinate
P=(xp,yp) con xp=(xc+xd)/2 e yp=q-xp/3
Ora i punti C e D devono appartenere all'ellisse, per cui valgolo le due equazioni seguenti:
2(xc^2)+3(yc^2)=35 cioè 2(xc^2)+3((q-xc/3)^2)=35 e
2(xd^2)+3(yd^2)=35 cioè 2(xd^2)+3((q-xd/3)^2)=35
Tali due equazioni le possiamo riscrivere in tal modo
7xc^2-6qxc+3(3q^2-35)=0 e
7xd^2-6qxd+3(3q^2-35)=0
Sottraendo la prima alla seconda otteniamo
7(xd-xc)(xc+xd)-6q(xd-xc)=0. Dividendo per (xd-xc) che è sicuramente diverso da zero, otteniamo
7(xc+xd)=6q da cui (xc+xd)=6q/7 e quindi
xp=(xc+xd)/2=3q/7 e
yp=q-xp/3=q-q/7=6q/7
Per cui il generico punto medio ha coordinate
P=(3q/7,6q/7) cioè l'ordinata il doppio dell'ascissa, per cui il luogo dei punti medi delle rette parallele ad AB è
y=2x
Sostituendo y=2x nell'equazione dell'ellisse, troviamo anche gli estremi di tale segmento:
2x^2+3*4x^2=35 implica x^2=5/2. Quindi gli estremi sono
(sqrt(5/2),2sqrt(5/2)) e (-sqrt(5/2),-2sqrt(5/2))
xA+xB=2 e yA+yB=4
Ma A e B devono appartenere all'ellisse, per cui si hanno altre due equazioni
2(xA^2)+3(yA^2)=35
2(xB^2)+3(yB^2)=35
Sottraiamo alla seconda la prima e otteniamo
2(xB^2-xA^2)+3(yB^2-yA^2)=0 cioè
2(xB-xA)(xA+xB)=3(yA-yB)(yA+yB)
Ma sappiamo che xA+xB=2 e yA+yB=4 per cui l'equazione si scrive:
4(xB-xA)=12(yA-yB) cioè (xB-xA)=3(yA-yB)
Ora xB=2-xA e yB=4-yA da cui
(xB-xA)=3(yA-yB) può essere riscritta come
2(1-xA)=6(yA-2) da cui yA=(7-xA)/3
Ora sostituiamo yA=(7-xA)/3 nell'equazione 2(xA^2)+3(yA^2)=35, si ha:
2(xA^2)+((7-xa)^2)/3=35 da cui
6xA^2+49+xA^2-14xA=105 e cioè
7xA^2-14xA-56=0 da cui xA^2-2xA-8=0 da cui
xA=4 U xA=-2
Ora xA=4 implica xB=-2 mentre
xA=-2 implica xB=4
Poichè deve essere xB>xA allora
xB=4 e xA=-2.
Quindi
yA=(7+2)/3=3 e yB=4-yA=1
Per cui in conclusione
A=(-2,3) e B=(4,1)
2)
La retta AB ha equazione y=7/3-x/3 cioè ha coefficiente angolare -1/3 per cui una generica retta parallela ad AB ha equazione
y=-x/3+q
Siano C=(xc,q-xc/3) e D=(xd,q-xd/3) gli estremi di tale corda, allora il punto medio P ha coordinate
P=(xp,yp) con xp=(xc+xd)/2 e yp=q-xp/3
Ora i punti C e D devono appartenere all'ellisse, per cui valgolo le due equazioni seguenti:
2(xc^2)+3(yc^2)=35 cioè 2(xc^2)+3((q-xc/3)^2)=35 e
2(xd^2)+3(yd^2)=35 cioè 2(xd^2)+3((q-xd/3)^2)=35
Tali due equazioni le possiamo riscrivere in tal modo
7xc^2-6qxc+3(3q^2-35)=0 e
7xd^2-6qxd+3(3q^2-35)=0
Sottraendo la prima alla seconda otteniamo
7(xd-xc)(xc+xd)-6q(xd-xc)=0. Dividendo per (xd-xc) che è sicuramente diverso da zero, otteniamo
7(xc+xd)=6q da cui (xc+xd)=6q/7 e quindi
xp=(xc+xd)/2=3q/7 e
yp=q-xp/3=q-q/7=6q/7
Per cui il generico punto medio ha coordinate
P=(3q/7,6q/7) cioè l'ordinata il doppio dell'ascissa, per cui il luogo dei punti medi delle rette parallele ad AB è
y=2x
Sostituendo y=2x nell'equazione dell'ellisse, troviamo anche gli estremi di tale segmento:
2x^2+3*4x^2=35 implica x^2=5/2. Quindi gli estremi sono
(sqrt(5/2),2sqrt(5/2)) e (-sqrt(5/2),-2sqrt(5/2))
Grazie siete stati davvero gentilissimi.
Avrei un altro problema da proporvi...sempre sull'ellisse
I punti di intersezione dell'ellisse x^2/a^2+y^2/b^2=1 con le rette x+2y-5=0 x-2y-5=0 determinano un trapezio isoscele avente la base maggiore doppia della minore e area di misura 6;determinare l'equazione dell'ellisse.Grazie in anticipo
@nicasamarciano :il risultato del libro è (sqrt5)/2;(sqrt5) -(sqrt5)/2;-(sqrt5) ma dato che ho controllato i conti,arguisco che sai sbagliato
Avrei un altro problema da proporvi...sempre sull'ellisse
I punti di intersezione dell'ellisse x^2/a^2+y^2/b^2=1 con le rette x+2y-5=0 x-2y-5=0 determinano un trapezio isoscele avente la base maggiore doppia della minore e area di misura 6;determinare l'equazione dell'ellisse.Grazie in anticipo
@nicasamarciano :il risultato del libro è (sqrt5)/2;(sqrt5) -(sqrt5)/2;-(sqrt5) ma dato che ho controllato i conti,arguisco che sai sbagliato
arguisco che sia sbagliato*
Sia $l=a^2$ ed $m=b^2$
Intersechiamo la nostra ellisse con la retta $x+2y-5=0$ e non ci curiamo dell'altra visto che il tutto è simmetrico rispetto all'asse delle $x$.
Dovresti trovare i seguenti punti: (con ascissa di A minore di ascissa di B)
A:=$( 5-2 ((10m+sqrt(lm(4m-25+l)))/(4m+l)), (10m+sqrt(lm(4m-25+l)))/(4m+l))$
B:=$( 5-2 ((10m-sqrt(lm(4m-25+l)))/(4m+l)), (10m-sqrt(lm(4m-25+l)))/(4m+l))$
A questo punto, considerando i dati riguardanti il trapezio, dovresti ottenere il seguente sistema:
${10m-3sqrt{lm(4m-25+l)}}/{4m+l}=0$
...
${80m}/{4m+l}cdot {sqrt{lm(4m-25+l)}}/{4m+l}=6$
Isolando la radice a sinistra ed uguagliando i due membri di destra si giunge
$9l^2+72ml-256m^2=(3l+32m)(3l-8m)=0$
da cui $l={8m}/3$
ed infine $m=35/8=b^2$ ed $l=35/3=a^2$
salvo errori...
Intersechiamo la nostra ellisse con la retta $x+2y-5=0$ e non ci curiamo dell'altra visto che il tutto è simmetrico rispetto all'asse delle $x$.
Dovresti trovare i seguenti punti: (con ascissa di A minore di ascissa di B)
A:=$( 5-2 ((10m+sqrt(lm(4m-25+l)))/(4m+l)), (10m+sqrt(lm(4m-25+l)))/(4m+l))$
B:=$( 5-2 ((10m-sqrt(lm(4m-25+l)))/(4m+l)), (10m-sqrt(lm(4m-25+l)))/(4m+l))$
A questo punto, considerando i dati riguardanti il trapezio, dovresti ottenere il seguente sistema:
${10m-3sqrt{lm(4m-25+l)}}/{4m+l}=0$
...
${80m}/{4m+l}cdot {sqrt{lm(4m-25+l)}}/{4m+l}=6$
Isolando la radice a sinistra ed uguagliando i due membri di destra si giunge
$9l^2+72ml-256m^2=(3l+32m)(3l-8m)=0$
da cui $l={8m}/3$
ed infine $m=35/8=b^2$ ed $l=35/3=a^2$
salvo errori...
Grazie ancora Celine 
sempre disponibile
sempre disponibile
fin a qeusto passaggio tutto chiato...$l={8m}/3$
Da dove ricavi questa condizione $m=35/8=b^2$ ? Grazie ancora per la pazienza
Da dove ricavi questa condizione $m=35/8=b^2$ ? Grazie ancora per la pazienza
"MarinaLab":
fin a qeusto passaggio tutto chiato...$l={8m}/3$
Da dove ricavi questa condizione $m=35/8=b^2$ ? Grazie ancora per la pazienza
Basta sostituire $l=8/3m$ nell'equazione ${10m-3sqrt{lm(4m-25+l)}}/{4m+l}=0$ ed è fatta.
Grazie ancora...Non saprei come fare senza di voi
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