Problema difficile trigoniometria
In un trapezio scaleno ABCD le basi misurano: AB: $5sqrt(3)+21$ e CD= $9$. Sapendo che l'angolo in B è 60 gradi e che il coseno dell'angolo in D è $-(5)/(13)$. Calcola la lunghezza dei lati obliqui.
Io ho provato a tracciare le altezze e formare due triangoli rettangoli ma mi sembra che manchi qualche dato perche così non sono riuscito a determinare nulla. O meglio, ho trovato un lato obliquo in funzione dell'altro, ma non avendo nessun'altra relazione tra i due, non sono riuscito a determinarli.
Io ho provato a tracciare le altezze e formare due triangoli rettangoli ma mi sembra che manchi qualche dato perche così non sono riuscito a determinare nulla. O meglio, ho trovato un lato obliquo in funzione dell'altro, ma non avendo nessun'altra relazione tra i due, non sono riuscito a determinarli.
Risposte
Ciao,
se tracci l'altezza $\bar{CH}$ ottieni un triangolo rettangolo che è la metà di un triangolo equilatero, ma immagino che tu ti sia già accorto di questo...
Un'idea che mi è venuta è quella di tracciare il segmento $\bar{AC}$ e poi utilizzare il teorema di Carnot. Prova a vedere se così viene fuori qualcosa!
se tracci l'altezza $\bar{CH}$ ottieni un triangolo rettangolo che è la metà di un triangolo equilatero, ma immagino che tu ti sia già accorto di questo...
Un'idea che mi è venuta è quella di tracciare il segmento $\bar{AC}$ e poi utilizzare il teorema di Carnot. Prova a vedere se così viene fuori qualcosa!
Il teorema di Carnot richiede calcoli abbastanza lunghi e quindi lo si usa solo se indispensabile; non è il nostro caso. Comincia a notare che
$cos hatA=cos(180°-hatD)=-cos hatD=5/13$
Tracciate ora le altezze CH e DK, poni $CH=DK=x$ e ricava AK e HB in funzione di $x$ esaminando i due triangoli rettangoli. Imponi poi che sia $AK+KH+HB=AB$ e deducine $x$; io ottengo $x=12sqrt3$
$cos hatA=cos(180°-hatD)=-cos hatD=5/13$
Tracciate ora le altezze CH e DK, poni $CH=DK=x$ e ricava AK e HB in funzione di $x$ esaminando i due triangoli rettangoli. Imponi poi che sia $AK+KH+HB=AB$ e deducine $x$; io ottengo $x=12sqrt3$
Ho trovato AH= $x*cotg A = (5/12) x$. Poi ho ricavato HB= $x*cotg B= (sqrt(3)/3)x$
Ho impostato $AK+KH+HB=AB$ che diventa $(5/12)x+9+(sqrt(3)/3)x = 5*sqrt(3)+21$
Da cui $x= 12*sqrt(3)$
Inoltre, per concludere, $BC= sqrt((12*sqrt(3))^2 + (sqrt(3)/3*12*sqrt(3))^2)=24$
E l'altro: $AD= sqrt(((5/12)*(12*sqrt(3)))^ + (12*sqrt(3))^2= 13*sqrt(3)$
Perfetto, giusto! Grazie mille...
Ps: non vorrei dire una boiata ma i due angoli di un trapezio che insistono sullo stesso lato obliquo sono sempre supplementari, vero?
Ho impostato $AK+KH+HB=AB$ che diventa $(5/12)x+9+(sqrt(3)/3)x = 5*sqrt(3)+21$
Da cui $x= 12*sqrt(3)$
Inoltre, per concludere, $BC= sqrt((12*sqrt(3))^2 + (sqrt(3)/3*12*sqrt(3))^2)=24$
E l'altro: $AD= sqrt(((5/12)*(12*sqrt(3)))^ + (12*sqrt(3))^2= 13*sqrt(3)$
Perfetto, giusto! Grazie mille...
Ps: non vorrei dire una boiata ma i due angoli di un trapezio che insistono sullo stesso lato obliquo sono sempre supplementari, vero?
Sì, i due angoli di un trapezio adiacenti ad uno stesso lato obliquo sono sempre supplementari perché coniugati interni in rette parallele.
I calcoli di $BC,AD$ potevano essere abbreviati così:
$BC=(CH)/(sen60°)=(12sqrt3)/(sqrt3/2)=24$
$AD=(DK)/(senhatA)=(12sqrt3)/(12/13)=13sqrt3$
I calcoli di $BC,AD$ potevano essere abbreviati così:
$BC=(CH)/(sen60°)=(12sqrt3)/(sqrt3/2)=24$
$AD=(DK)/(senhatA)=(12sqrt3)/(12/13)=13sqrt3$
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