Problema difficile

[Mayc1989]

Ciao ragazzi! Avrei bisogno di voi!

La prof ha lasciato x casa un problema e nn l'ho so fare. . . vi prego aiutatemi non so' a chi rivolgermi...
il proble è il seguente:

In un triangolo qualunque la bisettrice misura 2; l'angolo in B misura 60° e l'area 3√3/2. Trovare lati e angoli.

La prof ha detto di lavorare con le incognite, ma io nn so' come.

[lore_piero]

√3/2 sarebbe coseno di un angolo di 30°...fin qui posso aiutarti:D

[80ciccia]

Sapendo che la bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai lati dell'angolo, puoi utilizzare il segunte teorema:

La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto all'angolo in parti proporzionali agli altri due lati e viceversa.

Poi devi ricordarti che la somma degli angoli interni di un triangolo e 180° (e quindi essendo la misura di uno 60°, la somma degli altri due è pari a 120°).

... ... ...

[aleio1]

ma la bisettrice di quale angolo?

[Pillaus]

Presumo che la bisettrice bisechi l'angolo in B... Puoi ragionare così, credo:

Chiamiamo b il lato opposto a B e a e c gli altri, e l la bisettrice. Calcoliamo le aree dei triangolini. Hai:

[math]A_1 = {1 \over 2} al \sin 30^\circ\\
A_2 = {1 \over 2} cl \sin 30^\circ\\
A_{tot} = {1 \over 2} (a + c)l \sin 30^\circ = {1 \over 2} (a + c)\\
a + c = 3 \sqrt{3}[/math]

Ma l'area del triangolo grande è anche:

[math]A_{tot} = {1 \over 2} ac \sin 60^\circ\\
a c = 6[/math]

Ora, due numeri la cui somma e radicedi3 e il cui prodotto è 6 si trovano così:

[math]x^2 - 3 \sqrt{3} x + 6 = 0\\
x_{1,2} = 2\sqrt{3}, \sqrt{3}\\
a = 2\sqrt{3} , c = \sqrt{3}[/math]

Da cui ricaviamo b con il teorema di Carnot:

[math]b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos 60^\circ = 12 + 3 - 6 = 9\\
b = 3[/math]

E gli altri angoli col teorema dei seni:

[math]\frac{a}{\sin \hat{A}} = \frac{b}{\sin \hat{B}}\\
\sin \hat{A} = \frac{a}{b} \sin \hat{B} = 1\\
\hat{A} = 90^\circ[/math]

E per differenza,

[math]\hat{C} = 30^\circ[/math]