Problema di trigonometria (II liceo classico)

[gabry1821]

su una circonferenza di centro O e di diametro AB=cm4 si determini un punto C in modo che, indicando con D la sua proiezione ortogonale sulla retta tangente in B, sia: 2CD + BC = 4...il testo non lo chiede ma presumo voglia sapere la misura dell'angolo in A...

io ho disegnato il triangolo, anzi i triangoli un po' random e ho provato a ragionarci su ma...nulla da fare.. se c'è qualche mente in grado di rispondermi..

[@melia]

Indicata con H la proiezione di C sul diametro AB e con x l'angolo BAC, si ha
$x=hat(BAC)$, $0 Il triangolo ACB è rettangolo in C quindi usando i teoremi sui triangoli rettangoli si ottengono
$bar(BC)=4sinx$
$bar(CD)=bar(HB)=4 sin^2 x$

[gabry1821]

come hai fatto a calcolare CD? se sostituisco BC nell'equazione (2CD + BC = 4) mi vien fuori CD= 2 - 2 senx

e poi da tutto questo come arrivo a dire ke l'angolo B
AC = 30° (soluzione del libro)

[@melia]

Non puoi toccare l'equazione finale che ti serve per calcolare la x.
Ho calcolato CD lavorando sul triangolo rettangolo BCD sapendo che è simile ad ABC e quindi che l'angolo CBD misura x

[gabry1821]

ok, sono triangoli simili ma come calcoli CB? con una proporzione? con HB? in questo caso come faresti a sapere HB? se mi scrivi anke i calcoli mi fai un favore così capisco meglio...

[@melia]

$CD=HB$, considero il triangolo RETTANGOLO CHB, conosco $ CB$ che è l'ipotenusa, conosco l'angolo $hat(BCH)=x$, quindi $CD=HB=CB*sinx=4sinx*sinx=4*sin^2x$
La relazione $2CD+BC=4$ diventa $2*4*sin^2x+4sinx=4$, porto tutto a primo membro e divido per 4
$2*sin^2x+sinx-1=0$, risolvi l'equazione di secondo grado in $sinx$ e ottieni
$sinx=-1$ non accettabile e $sinx=1/2$ da cui $x=pi/6$ unica soluzione accettabile viste le condizioni imposte alla variabile x.

[gabry1821]

ok tutto chiaro! grazie mille!