Problema di trigonometria con limiti
Ho un altro problema di trigonometria con i limiti, ma siccome la difficoltà sta solo nel problema in se e non nel calcolo del limite, espongo solo quello: data la semicirconferenza di centro $O$ e raggio unitario, prolunga il diametro $AB$ di un segmento $BC=1$ e congiungi il punto $C$ con i punti $P$ e $Q$ della semicirconferenza tali che (angoli) $COQ=2COP$. Indicando con $x$ l'angolo $COP$, determina la funzione: $f(x)=(QC^2-PC^2)/(2QP^2)$. Ho fatto un disegno ed ho ragionato così: se $COP=x$ allora $COQ=2x$.
Uso il teorema del coseno per ricavare tutti i segmenti, quindi
$QC^2=OQ^2+OC^2-2*OQ*OC*cos3x=1+4-4*cos3x=5-4*cos3x$
$PC^2=OP^2+OC^2-2*OP*OC*cosx=1+4-4cosx=5-4cosx$
$QP^2=OQ^2+OP^2-2*OQ*OP*cos2x=1+1-2cos2x=2-2cosx$
Infine $f(x)=(5-4*cos3x-5+4cosx)/2*(2-2*cosx)$ e semplificando ottengo: $f(x)=(cosx-cos3x)/(1-cosx)$. Il problema è che il risultato è sbagliato, ma non capisco perchè.
Potreste aiutarmi per favore a capire dove ho commesso l'errore?
Uso il teorema del coseno per ricavare tutti i segmenti, quindi
$QC^2=OQ^2+OC^2-2*OQ*OC*cos3x=1+4-4*cos3x=5-4*cos3x$
$PC^2=OP^2+OC^2-2*OP*OC*cosx=1+4-4cosx=5-4cosx$
$QP^2=OQ^2+OP^2-2*OQ*OP*cos2x=1+1-2cos2x=2-2cosx$
Infine $f(x)=(5-4*cos3x-5+4cosx)/2*(2-2*cosx)$ e semplificando ottengo: $f(x)=(cosx-cos3x)/(1-cosx)$. Il problema è che il risultato è sbagliato, ma non capisco perchè.
Potreste aiutarmi per favore a capire dove ho commesso l'errore?
Risposte
$\bar(QC)^2=5-4*cos(2x)$
Per definizione data di $C\hat(O)Q$
Per definizione data di $C\hat(O)Q$
Quindi tutto l'angolo $O=2x$, giusto, oppure tutto l'angolo $O=x$ e l'angolo $COP=x/2$ ?
Argomenta meglio non capisco. In genere la $O$ si confonde con l'origine del riferimento cartesiano quindi non di usa assegnargli in quel modo un'ampiezza (specialmente se incognita).
Ok, riscrivo meglio.
Se l'angolo $COQ=x$ allora $COP=OQP=x/2$ oppure $COQ=2x$ e quindi $COP=OQP=x$. È sbagliato questo?
Se l'angolo $COQ=x$ allora $COP=OQP=x/2$ oppure $COQ=2x$ e quindi $COP=OQP=x$. È sbagliato questo?
Sembra giusto. Tranne per $O\hat(Q)P$ Non capisco che ragionamento ti porta a trovare che $O\hat(Q)P=x$
oppure che $O\hat(Q)P=x/2$
oppure che $O\hat(Q)P=x/2$
Beh, se $cOQ$ è il doppio di $COP$ e $COP=x$ allora $COQ=2x$ e quindi $OQP$ da solo deve essere $x$, o sbaglio?
Su $O\hat(Q)P$ secondo me sbagli. La definizione iniziale è fatta su $C\hat(O)Q$ e $C\hat(O)P$ Il resto gira attorno a questo. Comunque in questo caso è irrilevante in quanto con il teorema del coseno hai bisogno dei due lati e l'angolo tra essi compreso.
Ma infatti ho applicato il teorema del coseno per trovare $QP$ conoscendo $OQ$ e $OP$ che sono raggi e l'angolo compreso tra essi è $OQP$, per quello che mi serviva. Supponiamo che $COP$ sia $20°$ allora $COQ$ sarà di $40°$ e $OQP$ essendo l'altra metà sarà $20°$.
Ok
E quindi è giusto dire che $OQP=x$
Guarda che l'angolo compreso tra i due raggi è $Q\hat(O)P=x$ non $O\hat(Q)P$.
Su $O\hat(Q)P$ ho ancora qualche dubbio che sia $x$. Ma ai fini del problema questa informazione è poco rilevante.
Su $O\hat(Q)P$ ho ancora qualche dubbio che sia $x$. Ma ai fini del problema questa informazione è poco rilevante.
Ok, tutti i discorsi fatti prima da me erano riferiti all'angolo $QOP$, mi ero sbagliato.
Eh mi pareva... ancora un po' e mi convincevi 
Ma quindi perchè il risultato viene comunque sbagliato?
ALT fermi tutti con le funzioni che ho scritto viene sbagliato? Quanti deve venire il risultato scusa?
Avevo dimenticato un elevamento al quadrato scusa. Ho corretto. Alla fine dovrebbe venire
$f(x)=(cos(x)-cos(2x))/(1-cos(x))$
$f(x)=(cos(x)-cos(2x))/(1-cos(x))$
Il risultato del libro è: $f(x)=2cosx+1$
Allora è giusto. È solo da scomporlo.
$f(x)=(cos(x)-cos(2x))/(1-cos(x))$
Infatti, parto da lontano.
Il trinomio
$at^2+bt+c$
può essere scomposto effettuando un raccoglimento, ammesso che abbia senso farlo, nella seguente maniera e cioè "rompendo" il termine di primo grado in due termini che possono essere ottenuti con la seguente formula:
$(s+-sqrt(s^2-4p))/2$
Dove $s$ è la somma e $p$ il prodotto dei termini, che si può facilmente reperire dal polinomio:
$s=b$ la somma.
$p=a*c$ il prodotto.
Allora cerca di scomporre il numeratore:
$cos(x)-cos(2x)=cos(x)-(cos^2(x)-sen^2(x))=cos(x)-[cos^2(x)-(1-cos^2(x))]=$
$=cos(x)-[2cos^2(x)-1]=-2cos^2(x)+cos(x)+1$
a questo punto scomponi con il trinomio notevole. Hai:
$t=cos(x)$
$s=1$
$p=-2$
quindi i due numeri in cui "frantumare" il termine centrale (quello di primo grado) saranno:
$(1+-sqrt(1-4*(-2))=)/2=(1+-3)/2$
in definitiva avrai
$-2cos^2(x)+cos(x)+1=-2cos^2(x)+2cos(x)-cos(x)+1=$
$=2cos(x)*(-cos(x)+1)+1*(-cos(x)+1)=$
$=(-cos(x)+1)*(2cos(x)+1)=(2*cos(x)+1)*(1-cos(x))$
Hai perciò trovato che
$cos(x)-cos(2x)=(2cos(x)+1)*(1-cos(x))$
Vai a sostituire nella relazione iniziale:
$f(x)=(cos(x)-cos(2x))/(1-cos(x))=((2cos(x)+1)*(1-cos(x)))/(1-cos(x))$
Il denominatore si annulla solo per $x=2kpi$ che sono casi non interessanti a livello di trattazione (se non per calcolare un eventuale limite in $x=0$, cosa che probabilmente il problema chiede anche se non lo hai scritto)
Pertanto semplifichi e ottieni:
$f(x)=2*cos(x)+1$
$f(x)=(cos(x)-cos(2x))/(1-cos(x))$
Infatti, parto da lontano.
Il trinomio
$at^2+bt+c$
può essere scomposto effettuando un raccoglimento, ammesso che abbia senso farlo, nella seguente maniera e cioè "rompendo" il termine di primo grado in due termini che possono essere ottenuti con la seguente formula:
$(s+-sqrt(s^2-4p))/2$
Dove $s$ è la somma e $p$ il prodotto dei termini, che si può facilmente reperire dal polinomio:
$s=b$ la somma.
$p=a*c$ il prodotto.
Allora cerca di scomporre il numeratore:
$cos(x)-cos(2x)=cos(x)-(cos^2(x)-sen^2(x))=cos(x)-[cos^2(x)-(1-cos^2(x))]=$
$=cos(x)-[2cos^2(x)-1]=-2cos^2(x)+cos(x)+1$
a questo punto scomponi con il trinomio notevole. Hai:
$t=cos(x)$
$s=1$
$p=-2$
quindi i due numeri in cui "frantumare" il termine centrale (quello di primo grado) saranno:
$(1+-sqrt(1-4*(-2))=)/2=(1+-3)/2$
in definitiva avrai
$-2cos^2(x)+cos(x)+1=-2cos^2(x)+2cos(x)-cos(x)+1=$
$=2cos(x)*(-cos(x)+1)+1*(-cos(x)+1)=$
$=(-cos(x)+1)*(2cos(x)+1)=(2*cos(x)+1)*(1-cos(x))$
Hai perciò trovato che
$cos(x)-cos(2x)=(2cos(x)+1)*(1-cos(x))$
Vai a sostituire nella relazione iniziale:
$f(x)=(cos(x)-cos(2x))/(1-cos(x))=((2cos(x)+1)*(1-cos(x)))/(1-cos(x))$
Il denominatore si annulla solo per $x=2kpi$ che sono casi non interessanti a livello di trattazione (se non per calcolare un eventuale limite in $x=0$, cosa che probabilmente il problema chiede anche se non lo hai scritto)
Pertanto semplifichi e ottieni:
$f(x)=2*cos(x)+1$
Grazie mille, adesso ho capito! Il resto dei conti sono riuscito a farlo.
Ottimo. Ciao!
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