Problema di trigonometria con discussione

[maths74]

Potreste aiutarmi a svolgere questo problema?

Sono dati una semicirconferenza di diametro AB = 2r e un punto C su di essa tale che
cosBOC= − 7/25. Condurre una perpendicolare ad AB che incontri in E la corda AC e in F la semicirconferenza in modo che risulti:
FC + AF= 2kr

La soluzione è: 2 sol. per k [3/5; radice(10)/5]

Grazie

[@melia]

Credo che la via più semplice sia questa.
Poni $hat(BOC)=beta$, $hat(AOC)=2 alpha$, in questo modo l'angolo $hat(ABC)$ risulta essere $alpha$.
Come incognita scegli l'angolo $hat(ABF)=x$, per cui l'angolo $hat(FBC)= alpha - x$, le limitazioni per $x$ sono
$0<=x<=alpha$, lo $0$ se $F-=A$ e $alpha$ se $F-=C$.

Adesso dobbiamo calcolare $sin alpha$ e $cos alpha$ per poter calcolare la lunghezza delle due corde $bar(AF)$ e $bar(FC)$.

$cos 2 alpha= cos (pi-beta)=7/25$ e $sin 2 alpha=24/25$ (tieni conto che $2alpha$ è un angolo acuto, per cui lo sarà anche $alpha$).
Con le formule di bisezione si può calcolare seno e coseno di $alpha$
$sin alpha=3/5$ e $cos alpha= 4/5$

A questo punto è possibile calcolare le due corde $bar(AF)=2r sin x$ e $bar(FC)=2r sin(alpha-x)$ e impostare l'equazione parametrica

$2r sin x+2r sin(alpha-x)=2kr$

da cui, con un po' di calcoli, si arriva a $sinx+3cosx=5k$

Per discutere l'equazione parametrica si vede prima che cosa succede agli estremi $x=0$ e $x=alpha$, in entrambi i casi si ottiene $k=3/5$ e poi si passa alla soluzione grafica del sistema.

Hai bisogno di una mano anche qui o riesci a cavartela da solo?

[maths74]

Riesco a continuare
Grazie.