Problema di trigonometria coi limiti
Ho questo problema: considera la semicirconferenza di centro $O$ e diametro $AB=2r$, traccia la semiretta $t$ tangente in $A$ e la semiretta $s$ di origine $O$ che interseca la semicirconferenza in $P$ e la semiretta $t$ in $Q$.
Calcola $lim_(P->A)((AQ+PQ)/(AP))$.
Ho provato a procedere così:chiamo l'angolo $AOP=x$ così quando $P->A$ $x->0$. Ora consedero il triangolo $APO$ isoscele su $AP$ l'angolo $APO$ è retto, l'angolo $PAO=90-x$. Applico il teorema della corda e ricavo che: $AP=2rsinx$.
Poi considero il triangolo $AQP$ dove l'angolo $AQP=90-x$ e con il teorema sui triangoli rettangoli e visto che l'angolo $PAQ=x$ ottengo che $AP=AQsinx$ ovvero $AQ=2r$, e poi trovo allo stesso modo che $PQ=2rsinx$. Il fatto è che quando vado a fare il limite mi viene $+infty$ anzichè $1$, ma l'errore non sta nel limite che è abbstanza banale, ma nel problema. Potreste aiutarmi per favore a capire cosa ho sbagliato? Allego un'immagine del disegno che ho fatto:
Calcola $lim_(P->A)((AQ+PQ)/(AP))$.
Ho provato a procedere così:chiamo l'angolo $AOP=x$ così quando $P->A$ $x->0$. Ora consedero il triangolo $APO$ isoscele su $AP$ l'angolo $APO$ è retto, l'angolo $PAO=90-x$. Applico il teorema della corda e ricavo che: $AP=2rsinx$.
Poi considero il triangolo $AQP$ dove l'angolo $AQP=90-x$ e con il teorema sui triangoli rettangoli e visto che l'angolo $PAQ=x$ ottengo che $AP=AQsinx$ ovvero $AQ=2r$, e poi trovo allo stesso modo che $PQ=2rsinx$. Il fatto è che quando vado a fare il limite mi viene $+infty$ anzichè $1$, ma l'errore non sta nel limite che è abbstanza banale, ma nel problema. Potreste aiutarmi per favore a capire cosa ho sbagliato? Allego un'immagine del disegno che ho fatto:
Risposte
"ZfreS":
ottengo che AP=AQsinx
L'errore sta qui. $APQ$ non è un triangolo rettangolo.
Più che altro $\bar(AQ)/R=tg(x)$ per definizione stessa di tangente.
E l'errore sta pure qua:
"ZfreS":
AP l'angolo APO APO è retto
E' l'angolo $A\hat(P)B$ che è retto in quanto $APB$ triangolo è un triangolo inscritto in una semicirconferenza, che è retto. E poi lo vedi a occhio.
Riprova dai che questo è facile sono (quasi) tutti triangoli rettangoli.
Non ho capito perchè $(AQ)/R=tgx$
Comunque $AP$ continua a venirmi $2rsinx$ e $AQ$ mi viene $2rsinx$. Invece $QP$ mi viene $sqrt2r(2sinx-sin^2xcosx)$
Comunque $AP$ continua a venirmi $2rsinx$ e $AQ$ mi viene $2rsinx$. Invece $QP$ mi viene $sqrt2r(2sinx-sin^2xcosx)$
La puoi vedere sia come la definizione di tangente $\bar(AQ)=tg(x)$, riportata per la circonferenza goniometrica, per cui dividi ancora una volta per il raggio in modo da semplificare le unità di misura, e ottieni quanto detto:
$\bar(AQ)/R=tg(x)$
onde
$\bar(AQ)=R*tg(x)$, per cui il primo segmento del limite è determinato.
Parimenti, consideri il triangolo $QAO$. $QAO$ è rettangolo in $\hat(A)$ dato che la tangente alla circonferenza $\bar(QA)$ deve essere perpendicolare al raggio $\bar(OA)$, condotto dal centro al punto di tangenza.
Per definizione di tangente (cateto opposto su cateto adiacente):
$tg(x)=\bar(QA)/\bar(OA)=\bar(QA)/R$
Hai capito?
Prova a continuare tu adesso, per esempio ti dico che $\bar(QP)$ è l'ultimo segmento che devi determinare, per esempio con il teorema di Carnot applicato al triangolo $QPA$.
Prima devi però trovare $\bar(PA)$. Per esempio considera il teorema che dice che
$"l'angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro"$...
Quindi...
Quant'è l'ampiezza dell'angolo $P\hat(B)A$, angolo alla circonferenza corrispondente a $P\hat(O)A$???
Se ti dico ancora qualcosa te lo risolvo io.
[ot]Io ho sempre fatto fatica a ricordarmi tutti questi teoremi però se guardi il disegno vedi (anche se lo fai a mano) che ci sono delle relazioni tra gli elementi in gioco. Prova a pensare a $P$ che si sposta, a $x$ che aumenta d'ampiezza, et cetera.[/ot]
$\bar(AQ)/R=tg(x)$
onde
$\bar(AQ)=R*tg(x)$, per cui il primo segmento del limite è determinato.
Parimenti, consideri il triangolo $QAO$. $QAO$ è rettangolo in $\hat(A)$ dato che la tangente alla circonferenza $\bar(QA)$ deve essere perpendicolare al raggio $\bar(OA)$, condotto dal centro al punto di tangenza.
Per definizione di tangente (cateto opposto su cateto adiacente):
$tg(x)=\bar(QA)/\bar(OA)=\bar(QA)/R$
Hai capito?
Prova a continuare tu adesso, per esempio ti dico che $\bar(QP)$ è l'ultimo segmento che devi determinare, per esempio con il teorema di Carnot applicato al triangolo $QPA$.
Prima devi però trovare $\bar(PA)$. Per esempio considera il teorema che dice che
$"l'angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro"$...
Quindi...
Quant'è l'ampiezza dell'angolo $P\hat(B)A$, angolo alla circonferenza corrispondente a $P\hat(O)A$???
Se ti dico ancora qualcosa te lo risolvo io.
[ot]Io ho sempre fatto fatica a ricordarmi tutti questi teoremi però se guardi il disegno vedi (anche se lo fai a mano) che ci sono delle relazioni tra gli elementi in gioco. Prova a pensare a $P$ che si sposta, a $x$ che aumenta d'ampiezza, et cetera.[/ot]
Dato che ci sei porrei $Q\hat(O)A$ pari a $2x$, alla luce di quanto detto. E porrei invece $P\hat(B)A=x$. Ecco. Tel'ho risolto...
Dai che ormai è (quasi) risolto.
Dai che ormai è (quasi) risolto.
Ok, ho capito, ma se non considero il trinagolo $QOA$, l'esercizio non viene? Io ho ricavato $AQ$ col teorema sui triangoli rettangoli e anche $AP$, perciò non capisco come possa aver sbagliato. In ogni caso seguendo il tuo consiglio l'esercizio viene corretto.
"ZfreS":
Comunque AP AP continua a venirmi 2rsinx 2rsinx e AQ AQ mi viene 2rsinx 2rsinx. Invece QP QP mi viene 2 – √ r(2sinx−sin 2 xcosx)
Guarda sei andato vicino. Ti faccio le ultime correzioni, questa è la soluzione.
attenzione mantengo l'incognita che tu hai fissato.
$\bar(AQ)=R*tg(x)$ per quanto detto in precedenza, credo di essere stato esaustivo in merito.
Per il teorema della corda (e anche per le proprietà dei triangoli rettangoli visto e considerato che $APB$ è un triangolo rettangolo) si ha:
$\bar(AP)=2*R*sen(x/2)$
$P\hat(A)B=pi/2-x/2$
da cui:
$Q\hat(A)P=pi/2-P\hat(A)B=pi/2-pi/2+x/2=x/2$
Per il teorema del coseno altrimenti detto di Carnot hai che:
$\bar(QP)=sqrt([\bar(QA)^2+\bar(AP)^2-2*\bar(AP)*\bar(QA)*cos(Q\hat(A)P)])=sqrt(R^2*tg^2(x)+4*R^2*sen^2(x/2)-2*2*R*sen(x/2)*R*tg(x))$
A questo punto passo direttamente al limite:
$lim_(P->A)[(\bar(AQ)+\bar(PQ))/\bar(AP)]=$
$=lim_(x->0)[(R*tg(x)+sqrt(R^2*tg^2(x)+4*R^2*sen^2(x/2)-2*2*R*sen(x/2)*R*tg(x)))/(2*R*sen(x/2))]=$
$=lim_(x->0)[(tg(x)+sqrt(tg^2(x)+4*sen^2(x/2)-4*sen(x/2)*tg(x)))/(2*sen(x/2))]=1$
Questo te lo calcoli te. Comunque viene $1$.
Se ponevi $P\hat(B)A=x$ era tutto leggermente più semplice.
Prova a vedere questa soluzione che ti ho scritto.
Io ho posto $PBA=x$ ed è per questo che non stavo capendo il perchè di $sin(x/2)$.
Tornando alla tangente però, se io pensassi al terzo teorema dei triangoli rettangoli avrei che $AQ=2Rtgx$ anziche $AQ=Rtgx$.
Tornando alla tangente però, se io pensassi al terzo teorema dei triangoli rettangoli avrei che $AQ=2Rtgx$ anziche $AQ=Rtgx$.
Se $A\hat(B)Q=x$ allora sì.
Ah, ok allora va benissimo così, grazie tante per l'aiuto!
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