Problema di trigonometria
Non riesco a capire l'impostazione di questo problema di trigonometria; ho provato e riprovato e , forse a causa della mia stanchezza, ho fallito.
Il problema dice: Sia AOB un settore circolare di centro O, di raggio AO=OB=r e di ampiezza 120°. Determinare sull'arco AB un punto P tale che, detta H la proiezione di P sulla corda AB, sia AH+3BH=($ 2sqrt(3) $ +1 )r.
Quindi devo trovare l'angolo PAB che, dal risultato, è 45°.
Bene, per quanto riguarda la figura penso si averla capita abbastanza bene. Ho un settore circolare, la corda AB, e un punto P sull'arco di circonferenza AB.; questo punto P forma la proiezione H su AB. Essendo il problema molto generico presumo che il nuovo triangolo formato dal punto P, APB, sia scaleno e quindi H non è anche punto medio di AB. Se così fosse, dato che è stato il mio primo errore, non calcolerei un bel niente perchè AP e PB sarebbero uguali e gli angoli PAB e PBA sarebbero uguali. Insomma non mi torna, o forse continuo a sbagliare io. Voi che ne pensate?
Comunque la cosa sicura è che la corda AB= 2r $ sinx $ 120° quindi AB=r$ sqrt(3) $ . E adesso?
Questo problema mi fa perdere la testa, adesso voglio risolverlo anche con il vostro aiuto per pura soddisfazione personale!
Il problema dice: Sia AOB un settore circolare di centro O, di raggio AO=OB=r e di ampiezza 120°. Determinare sull'arco AB un punto P tale che, detta H la proiezione di P sulla corda AB, sia AH+3BH=($ 2sqrt(3) $ +1 )r.
Quindi devo trovare l'angolo PAB che, dal risultato, è 45°.
Bene, per quanto riguarda la figura penso si averla capita abbastanza bene. Ho un settore circolare, la corda AB, e un punto P sull'arco di circonferenza AB.; questo punto P forma la proiezione H su AB. Essendo il problema molto generico presumo che il nuovo triangolo formato dal punto P, APB, sia scaleno e quindi H non è anche punto medio di AB. Se così fosse, dato che è stato il mio primo errore, non calcolerei un bel niente perchè AP e PB sarebbero uguali e gli angoli PAB e PBA sarebbero uguali. Insomma non mi torna, o forse continuo a sbagliare io. Voi che ne pensate?
Comunque la cosa sicura è che la corda AB= 2r $ sinx $ 120° quindi AB=r$ sqrt(3) $ . E adesso?
Questo problema mi fa perdere la testa, adesso voglio risolverlo anche con il vostro aiuto per pura soddisfazione personale!
Risposte
devi scegliere un'incognita, che in problemi come questo è generalmente un angolo
dopo aver unito $P$ con $A$ e con $B$, poni ad esempio $PhatAH=x$
l'angolo $AhatPB$ è anch'esso di 120° (è la metà dell'angolo al centro corrispondente, che è l'angolo esplementare di $AhatOB$)
andando a fare i calcoli tra gli angoli del quadrilatero $OAPB$, si trova che $PhatAH + PhatBH$ = 60°, quindi $PhatBH$ = 60° - x
ora puoi applicare il teorema della corda sia ad $AP$ che a $BP$, e da qui, tramite i teoremi sui triangoli rettangoli, ricavare $PH$ e $BH$
è indubbiamente un procedimento abbastanza lungo; per ora a me è venuto in mente questo, ma può darsi che qualcun altro ne trovi uno migliore
dopo aver unito $P$ con $A$ e con $B$, poni ad esempio $PhatAH=x$
l'angolo $AhatPB$ è anch'esso di 120° (è la metà dell'angolo al centro corrispondente, che è l'angolo esplementare di $AhatOB$)
andando a fare i calcoli tra gli angoli del quadrilatero $OAPB$, si trova che $PhatAH + PhatBH$ = 60°, quindi $PhatBH$ = 60° - x
ora puoi applicare il teorema della corda sia ad $AP$ che a $BP$, e da qui, tramite i teoremi sui triangoli rettangoli, ricavare $PH$ e $BH$
è indubbiamente un procedimento abbastanza lungo; per ora a me è venuto in mente questo, ma può darsi che qualcun altro ne trovi uno migliore
Giusto, potrei fare così. Il prima possibile proverò a fare questo problemino.
Grazie
Grazie
prego! 
Ho cercato un metodo più breve e ne ho trovato uno alternativo, ma sempre lunghetto. Inizio risolvendo il sistema
${(bar(AH)+3 bar(BH)=r(2sqrt3+1)),(bar(AH)+bar(BH)=sqrt 3):}$
da cui ricavo $bar(AH)=(r(sqrt3-1))/2$. L'altra incognita non interessa, e questo può essere fatto anche col metodo di Nicole93. Noto poi che il triangolo OAP è isoscele e che, con la stessa scelta di incognita, un suo angolo alla base è $O hatAP=x+30^o$; ne deduco l'angolo al vertice e calcolo AP col teorema della corda. Posso ora calcolare $bar(AH)=bar(AP)cosx$ ed eguagliare i due valori trovati.
${(bar(AH)+3 bar(BH)=r(2sqrt3+1)),(bar(AH)+bar(BH)=sqrt 3):}$
da cui ricavo $bar(AH)=(r(sqrt3-1))/2$. L'altra incognita non interessa, e questo può essere fatto anche col metodo di Nicole93. Noto poi che il triangolo OAP è isoscele e che, con la stessa scelta di incognita, un suo angolo alla base è $O hatAP=x+30^o$; ne deduco l'angolo al vertice e calcolo AP col teorema della corda. Posso ora calcolare $bar(AH)=bar(AP)cosx$ ed eguagliare i due valori trovati.
Grazie mille a tutti. le soluzioni mi sembrano logicamente corrette. A mente lucida sono riuscita a trovare un altro modo! 
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