Problema di trigonometria

[maria601]

A un settore circolare di raggio r e angolo al centro di misura un radiante viene aggiunto un secondo settore ad esso adiacente avente uguale raggio e angolo al centro uguale alla metà del primo, poi un terzo settore avente angolo al centro metà del secondo e uguale raggio e così via sempre dimezzando l' angolo. Qual'è la somma delle aree degli infiniti settori così ottenuti ?
Ho provato facendo la figura ma non sono riuscita a trovare la soluzione, nè devo usare i limiti, come posso fare ?

[giammaria2]

L'angolo al centro finale è
$alpha=1+1/2+1/4+1/8+...$
e riconosciamo una progressione geometrica di ragione $1/2$. Quanto vale la somma dei suoi primi $n$ termini? Anche se non devi usare i limiti, quasi certamente hai già studiato questo: cosa succede se $n$ tende ad infinito?

[maria601]

se n tende ad infinito i termini tendono a zero, la somma dovrebbe valere due ma perchè ? Ragionando forse sulla formula o intuitivamente?

[giammaria2]

L'intuito aiuta, ma la dimostrazione si ha ragionando sulla formula: se $a_1$ è il primo termine e $q$ la ragione, la somma dei primi $n$ termini è $S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)$. Un numero minore di 1 dà potenze sempre minori, che diventano praticamente zero quando l'esponente è alto, quindi, per $q<1$, la somma di infiniti termini è$S=a_1*1/(1-q)$. Nel tuo caso $S=1*1/(1-1/2)=2$