Problema di trigonometria.
Ciao a tutti. 
In questi giorni mi sto preparando per i test di ammissione all'università, quindi, sto ripetendo più o meno tutta la matematica dei cinque anni passati alle scuole superiori.
Sono arrivato a ripetere la trigonomentria, argomento che purtroppo non abbiamo affrontato con la mia classe, ma che risulta di fondamentale importanza per i test.
Dopo aver visto la teoria sono passato alla "pratica". Mi sono bloccato su un problemino che, potrebbe essere facile, ma per me che è la prima volta che affronto questa tipologia di quesiti, mi ha lasciato un po' perplesso.
Ecco la traccia:
determinare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che, detto alfa uno degli angoli acuti, è $sin(a)=5/13$ e che la differenza delle proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa è cm 238.
Grazie per la vostra disponibilità.
Ciauz.!
In questi giorni mi sto preparando per i test di ammissione all'università, quindi, sto ripetendo più o meno tutta la matematica dei cinque anni passati alle scuole superiori.
Sono arrivato a ripetere la trigonomentria, argomento che purtroppo non abbiamo affrontato con la mia classe, ma che risulta di fondamentale importanza per i test.
Dopo aver visto la teoria sono passato alla "pratica". Mi sono bloccato su un problemino che, potrebbe essere facile, ma per me che è la prima volta che affronto questa tipologia di quesiti, mi ha lasciato un po' perplesso.
Ecco la traccia:
determinare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che, detto alfa uno degli angoli acuti, è $sin(a)=5/13$ e che la differenza delle proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa è cm 238.
Grazie per la vostra disponibilità.
Ciauz.!
Risposte
Ho elaborato una soluzione. Spero che possa andare bene.
Chiariamo in primis la posizione del triangolo e l'orientazione degli angoli così come le ho pensate io: angolo retto $\gamma$ di vertice $A$ in alto, angolo $\alpha$ in basso a sinistra e angolo $\beta = \pi-\pi/2-\alpha = \pi/2-\alpha$ in basso a destra.
Ora: chiamiamo $BC$ l'ipotenusa e rispettivamente $BH$ e $HC$ le proiezioni dei due cateti su di essa. Avendo che $BH-HC=238cm$, e ponendo per convenzione $HC=t$, otteniamo che $BH=(238+t)cm$; l'ipotenusa sarà quindi pari a $(t+t+238)cm = (2t+238)cm$.
Prendiamo quindi in esame il segmento lungo 238 cm. Attraverso la costruzione che ti ho suggerito, possiamo dedurre mediante il teorema dei seni che $238/(sen(\pi/2-2\alpha))$ = $(AB)/(sen(\pi/2+\alpha))$. Da questa relazione giungiamo ad affermare che $AB$ = $(238*sen(\pi/2+\alpha))/(sen(\pi/2-2\alpha))$.
Noto $AB$, puoi ricavare in maniera semplice $AC$ attraverso la relazione $AC = AB*tg\alpha$. Credo sia superfluo suggerirti come ottenere infine l'ipotenusa.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Chiariamo in primis la posizione del triangolo e l'orientazione degli angoli così come le ho pensate io: angolo retto $\gamma$ di vertice $A$ in alto, angolo $\alpha$ in basso a sinistra e angolo $\beta = \pi-\pi/2-\alpha = \pi/2-\alpha$ in basso a destra.
Ora: chiamiamo $BC$ l'ipotenusa e rispettivamente $BH$ e $HC$ le proiezioni dei due cateti su di essa. Avendo che $BH-HC=238cm$, e ponendo per convenzione $HC=t$, otteniamo che $BH=(238+t)cm$; l'ipotenusa sarà quindi pari a $(t+t+238)cm = (2t+238)cm$.
Prendiamo quindi in esame il segmento lungo 238 cm. Attraverso la costruzione che ti ho suggerito, possiamo dedurre mediante il teorema dei seni che $238/(sen(\pi/2-2\alpha))$ = $(AB)/(sen(\pi/2+\alpha))$. Da questa relazione giungiamo ad affermare che $AB$ = $(238*sen(\pi/2+\alpha))/(sen(\pi/2-2\alpha))$.
Noto $AB$, puoi ricavare in maniera semplice $AC$ attraverso la relazione $AC = AB*tg\alpha$. Credo sia superfluo suggerirti come ottenere infine l'ipotenusa.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
In presenza di triangoli rettangoli non conviene usare il teorema dei seni; meglio i teoremi su di essi. Do una soluzione che mi sembra più semplice: ABC è il triangolo, con ipotenusa $AB=x$, A è il vertice corrispondente ad $alpha$, H è la proiezione di C su AB.
Inizio calcolando il coseno: è positivo, quindi $cos alpha=sqrt(1-(5/13)^2)=...=12/13$. Di conseguenza $AC=AB cos alpha=12/13 x$ e $BC=AB sen alpha=5/13 x$. Osservando ora i due triangoli rettangoli ACH e BCH è facile calcolare AH e BH e concludere. Lascio i calcoli a voi; c'è una bella semplificazione per 119.
Inizio calcolando il coseno: è positivo, quindi $cos alpha=sqrt(1-(5/13)^2)=...=12/13$. Di conseguenza $AC=AB cos alpha=12/13 x$ e $BC=AB sen alpha=5/13 x$. Osservando ora i due triangoli rettangoli ACH e BCH è facile calcolare AH e BH e concludere. Lascio i calcoli a voi; c'è una bella semplificazione per 119.
Grazie per le risposte... solo che in entrambi i casi mi lasciano un po' perplesso. Nella prima non riesco a capire che angolo è $sen(pi/2 -2a)$... nel secondo mi sarebbe utile capire come andare avanti cioè come faccio a trovare l'ipotenusa.
Vi sarei grato se potreste scrivere tutti i vari passaggi.
Putroppo sono alla primissime armi con questo argomento...
Grazie ancora per la disponibilità.
Vi sarei grato se potreste scrivere tutti i vari passaggi.
Putroppo sono alla primissime armi con questo argomento...
Grazie ancora per la disponibilità.
A proposito della mia: credo che i primi passaggi siano lapalissiani, quindi tralascio la loro descrizione minuziosa. La seconda parte, ne prendo atto, è piuttosto articolata indi per cui ti consiglio vivamente di farti un disegno preciso. Tanto per darti un'idea su come disegnare il triangolo (ripeto, così come l'ho pensato io), $arcsen(5/13)=22,61°$, quindi l'angolo $\alpha$ (in basso a destra, associato al vertice $B$) è decisamente molto piccolo.
Detto $H$ il punto di incontro tra l'altezza relativa all'ipotenusa e quest'ultima, individuiamo le proiezioni dei cateti, $BH$ e $HC$. Prendiamo poi in esame il triangolo $AHC$, retto in $\hat H$ e immaginiamo una sua rotazione intorno all'altezza $AH$. Si avrà un "nuovo" triangolo, sempre rettangolo in $\hat H$, immagine speculare di $AHC$ che sarà indicato con $AHC_1$; $BC_1=BH-CH=238cm$. Conoscendo ora un lato del triangolo $BC_1A$, si può applicare il teorema dei seni secondo il quale il rapporto tra i lati di un triangolo e i seni dei loro rispettivi angoli opposti è costante (e pari a $2R$). Detto questo, si ragioni sugli angoli: l'angolo in $C$ è pari a $\pi-\pi/2-\alpha=\pi/2-\alpha$ mentre l'angolo $A\hat C_1B=\pi-(\pi/2-\alpha)=\pi/2+\alpha$ (il tutto tenendo presente la somma degli angoli interni); l'angolo $B\hat AC_1=\pi-\alpha-(\pi/2+\alpha)=\pi/2-\alpha$. Conoscendo tutto ciò, procedi come ti ho suggerito nel post precedente, applicando, dove vi è necessità, le formule di somma e sottrazione del seno e del coseno.
A proposito di quella di giammaria: mi pare molto semplice e intuitiva. Si richiede soltanto la conoscenza del teorema sui triangoli rettangoli e la relazione fondamentale della goniometria. Lascio comunque spazio a lui, com'è giusto che sia, per eventuali ulteriori delucidazioni.
Detto $H$ il punto di incontro tra l'altezza relativa all'ipotenusa e quest'ultima, individuiamo le proiezioni dei cateti, $BH$ e $HC$. Prendiamo poi in esame il triangolo $AHC$, retto in $\hat H$ e immaginiamo una sua rotazione intorno all'altezza $AH$. Si avrà un "nuovo" triangolo, sempre rettangolo in $\hat H$, immagine speculare di $AHC$ che sarà indicato con $AHC_1$; $BC_1=BH-CH=238cm$. Conoscendo ora un lato del triangolo $BC_1A$, si può applicare il teorema dei seni secondo il quale il rapporto tra i lati di un triangolo e i seni dei loro rispettivi angoli opposti è costante (e pari a $2R$). Detto questo, si ragioni sugli angoli: l'angolo in $C$ è pari a $\pi-\pi/2-\alpha=\pi/2-\alpha$ mentre l'angolo $A\hat C_1B=\pi-(\pi/2-\alpha)=\pi/2+\alpha$ (il tutto tenendo presente la somma degli angoli interni); l'angolo $B\hat AC_1=\pi-\alpha-(\pi/2+\alpha)=\pi/2-\alpha$. Conoscendo tutto ciò, procedi come ti ho suggerito nel post precedente, applicando, dove vi è necessità, le formule di somma e sottrazione del seno e del coseno.
A proposito di quella di giammaria: mi pare molto semplice e intuitiva. Si richiede soltanto la conoscenza del teorema sui triangoli rettangoli e la relazione fondamentale della goniometria. Lascio comunque spazio a lui, com'è giusto che sia, per eventuali ulteriori delucidazioni.
Spero che tu abbia capito i calcoli già fatti e li continuo. Osservando il triangolo ACH calcolo
$AH=AC cos alpha=12/13 x* 12/13=144/169x$.
HB può essere calcolato in modo analogo (come suggerivo) ma è più veloce fare
$HB=AB-AH=x-144/169 x=25/169 x$
Ne calcolo la differenza: $144/169 x-25/169 x=238$ e da questa equazione ricavo l'ipotenusa $x$.
$AH=AC cos alpha=12/13 x* 12/13=144/169x$.
HB può essere calcolato in modo analogo (come suggerivo) ma è più veloce fare
$HB=AB-AH=x-144/169 x=25/169 x$
Ne calcolo la differenza: $144/169 x-25/169 x=238$ e da questa equazione ricavo l'ipotenusa $x$.
Ok perfetto, alla conclusione della seconda risposta era arrivato tardivamente anch'io. Per la prima: ora ho capito da dove vien fuori quell'angolo del seno!
Grazie mille a tutti e due!
Grazie mille a tutti e due!
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