Problema di trigonometria (61051)

[[Roxas]]

Ciao, mi servirebbe aiuto su questo problema:
Su una semicirconferenza di diametro AB = 2r considera la corda AC = r e sull'arco CB un punto P variabile, con l'angolo PAB = x. Calcola x in modo che il perimetro di ACPB sia 5r.

Ho già trovato l'angolo CPA e, vedendo le soluzioni, è uguale all'angolo x, ma non so come dimostrarlo...
Grazie in anticipo!

[BIT5]

Scusami, vuoi la soluzione dell'esercizio o ti serve solo capire perche' l'angolo CPA = x ?

[[Roxas]]

Sì, scusa, mi sono spiegato male. La soluzione ce l'ho, ma devo dimostrare perchè CPA = x. Ho scritto che sono uguali perchè alterni interni, ma il testo non dice che la figura è un trapezio (si vede solo dopo che si trova l'angolo CPA). La vera domanda è: c'è un metodo più "matematico" per dimostrarlo o mi posso basare solo sul disegno?

Aggiunto 25 minuti più tardi:

Dovrei risolverlo senza usare il teorema dei seni, ma solo quelli sui triangoli rettangoli e della corda...
L'angolo CPA l'ho trovato usando appnto il teorema della corda, così: AC=2r*senCPA. Sapendo che AC=r risulta che senCPA=1/2, quindi l'angolo è di 30°.
Per il resto provo come hai detto tu, ma come ho già detto, non dovrei usare il teorema dei seni...

Aggiunto 3 ore 20 minuti più tardi:

Ok, capito; grazie mille!

[BIT5]

Considera prima di tutto il triangolo ACO.

Esso ha: AC=r (dato del problema)
AO=r (raggio)
CO=r (Raggio

Il triangolo ACO e' equilatero, pertanto l'angolo CAO e' di 60 gradi.

Considera il quadrilatero ACPB. La somma degli angoli opposti di un quadrilatero inscritto e' sempre 180.

Quindi l'angolo CPB e' di 120.

Infine considera il triangolo APB.

Esso è un triangolo inscritto in una semicirconferenza, pertanto ha in P un angolo retto (e' rettangolo).

Pertanto l'angolo APC sara' 120-90=30.

Detto x l'angolo PAB avremo che:

[math] PB=2r \sin x \\ \\ \\ PA=2r \cos x [/math]

Calcoliamo infine gli angoli del triangolo CPA:

l'angolo APC e' 30.
L'angolo CAP e' 60-x
L'angolo ACP dunque sara'

180-30-(60-x)=90+x (il dato serve a poco)

Per il teorema dei seni possiamo calcolare CP

[math] \frac{AC}{\sin 30} = \frac{CP}{\sin(60-x)} [/math]

Da cui

[math] CP= \frac{AC}{\sin 30} \cdot \sin(60-x) = \frac{r}{ \frac12} \cdot \sin(60-x) = 2r \sin (60-x) [/math]

Ora ricordati solo che sen (60-x)=sen60cosx-cos60senx ovvero

[math] \frac{\sqrt3}{2} \cos x - \frac12 \sin x [/math]

L'equazione da risolvere sara'

[math] r+2r+2r \sin x + r\sqrt3 \cos x - r \sin x = 5r [/math]

Riesci a finirlo tu?

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Pero' l'angolo CPA non e' x...

A meno che non mi sono perso un passaggio, ma non direi..

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Devo andare e te lo finisco :)

Fai i conti e ottieni

[math] r \sin x + r \sqrt3 \cos x = 2r [/math]

Semplifichi la r e dividi tutto per 2 ottenendo

[math] \frac12 \sin x + \frac{\sqrt3}{2} \cos x = 1 [/math]

E notando che 1/2 e radice3/2 sono rispettivamente coseno e seno di 60, scrivi

[math] \cos 60 \sin x + \sin 60 \cos x = 1 [/math]

Che e' lo sviluppo della formula di addizione

[math] \sin (60+x) = 1 [/math]

ovvero

[math] \sin (60+x) = \sin 90 [/math]

E dunque

60+x=90

x=30

Solo a questo punto riesci a capire che e' un trapezio, ma non perche' l'angolo APC e' uguale a x, ma perche' x e' uguale all'angolo APC.

E' un caso, diciamo, non un dato dimostrabile :)

Aggiunto 3 ore 6 minuti più tardi:

Va bene.

Allora considera il triangolo OCP.

Esso e' isoscele, in quanto ha due lati = r.

Traccia dunque la sua altezza. L'altezza divide la base in due segmenti equivalenti.

Chiama H il piede della base e considera il triangolo CHO, rettangolo e con un angolo pari a 30+x (lo ricavi facilmente, in quanto l'angolo ACP è supplementare all'angolo ABP che e' 90-x, quindi togli 60 dall'angolo PCA..)

A questo punto sai che CH=r cos (30+x) e dunque CP=2r cos (30+x)

E puoi andare avanti allo stesso modo :)