Problema di trigonometria (54551)
Dal vertice B del triangolo rettangolo isoscele ABC di cateti AB=AC=2a si conduca una semiretta in modo che, detta P la sua intersezione con il cateto AC, Q la proiezione di P sull'ipotenusa BC ed R la proiezione di Q sul cateto AB risulti ka^2 l'area del trapezio APQR.
Risposte
Poniamo l'angolo ABP=x e pertanto QBP sara' 45-x
Vediamo i casi limite:
Se P coincide con A avremo PQ altezza di ABC relativa all'ipotenusa
x=0
Il trapezio sara' deformato in un triangolo,
AR=1/2AB=a
L'Area richiesta sara' a^2/2 e pertanto k=1/2
Se P coincide con C avremo Q coincidente con C e R coincidente con A
x=45
Il trapezio sara' una retta, l'area sara' 0 e quindi k=0
Ora calcoliamo l'area generica del trapezio.
AP e' cateto del triangolo rettangolo (in A) ABP di cateto maggiore 2a.
L'ipotenusa PB sara' cateto/cosx (coseno angolo compreso) ovvero 2a/cosx
E l'altro cateto sara' ipotenusa x seno angolo opposto e dunque senx 2a/cosx = 2a tgx
Abbiamo trovato la base minore.
Fino a qui ci sei?
Vediamo i casi limite:
Se P coincide con A avremo PQ altezza di ABC relativa all'ipotenusa
x=0
Il trapezio sara' deformato in un triangolo,
AR=1/2AB=a
L'Area richiesta sara' a^2/2 e pertanto k=1/2
Se P coincide con C avremo Q coincidente con C e R coincidente con A
x=45
Il trapezio sara' una retta, l'area sara' 0 e quindi k=0
Ora calcoliamo l'area generica del trapezio.
AP e' cateto del triangolo rettangolo (in A) ABP di cateto maggiore 2a.
L'ipotenusa PB sara' cateto/cosx (coseno angolo compreso) ovvero 2a/cosx
E l'altro cateto sara' ipotenusa x seno angolo opposto e dunque senx 2a/cosx = 2a tgx
Abbiamo trovato la base minore.
Fino a qui ci sei?
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