Problema di trigonometria

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
Ho un problema:

"Si consideri una circonferenza di centro $O$ e di diametro $AB=2R$. Sia $M$ un punto della circonferenza, definito dall'angolo $angle(BAM)=x$ e sia $M'$ il punto simmetrico di $M$ rispetto ad $AB$. Sia $P$ il centro della circonferenza inscritta nel triangolo $AMM'$; considerando positivo su $AB$ il verso da $A$ a $B$, calcolare $OP$ in funzione di $x$ e di $R$".

Il mio libro di testo non fornisce il risultato e vorrei sapere come risulta a voi. Io nel frattempo rivedo il mio risultato, perchè se fisso $angle(BAM)$ (nei limiti geometrici del problema),ottengo un valore negativo di $OP$ ed evidentemente non è possibile!

Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione prestatami.

Andrea

[adaBTTLS1]

è giusto che OP sia negativo se 45°0 se P si trova tra O e B. P coincide con O se x=45°. spero sia chiaro. ciao.

EDIT: è corretto che OP<0 se 45°

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[Andrea902]

Scusa Ada, ma credevo che la limitazione fosse $0

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[adaBTTLS1]

io non ho svolto i calcoli, ma la limitazione è giusta, solo che: se $0
EDIT: scusami, non avendo fatto il calcolo, mi era sfuggito che cosa fosse P... la risposta precedente è riferita alla proiezione di M sul diametro.
correggo.

[Tul1]

"Andrea90":Scusa Ada, ma credevo che la limitazione fosse $0
Sì, è giusto così.
Adesso non ho fatto i calcoli, però ti dico un modo di procedere, forse il più breve: una volta trovati i lati del triangolo $AMH$ dove $H$ è il punto medio di $MM'$, puoi utilizzare il teorema della bisettrice trovando la distanza $AP$, $OP=|AP-R|$. Ho scritto in valore assoluto perchè bisognerebbe distinguere i due casi se $P$ appartiene a $AO$ o $AB$, i risultati ottenuti sono l'uno l'opposto dell'altro.

[Andrea902]

Per Tul. Il Teorema della bisettrice devo applicarlo al triangolo $AMH$, giusto? Ma a quale angolo? In teoria credo che l'angolo debba essere quello in $M$, ma in questa maniera non è come se supponessi $PM$ definito?

[Tul1]

In questo caso per teorema della bisettrice intendo: $AM:MH=AP:PH$, dove $AM$ e $MH$ li ricavi, e $PH=AH-AP$. In sostanza l'unica incognita è $AP$.
La bisettrice è $MP$ perchè $P$ è l'incentro di $AMM'$.

[Andrea902]

Per caso anche a voi risulta $OP=R|1-2sinx|$?

[Andrea902]

Per Ada. Ho svolto diverse volte i calcoli ed ottengo la soluzione postata nel mio messaggio precedente. Solo che se vado ad esaminare i casi del valore assoluto non ottengo il caposaldo $pi/4$, in quanto dovrei risolvere la disequazione $1-2sinx>0$... cosa succede? Ho forse sbagliato?

[adaBTTLS1]

quello che ti ha scritto Tul è corretto. solo che il testo ti chiede OP "con il segno", per cui devi considerare $OP=AP-R$ senza il valore assoluto.
io ho ottenuto $AP=(2Rcos^2(x))/(1+sen(x))$, da cui $OP=(1-senx-2sen^2x)/(1+senx)*R$, ma è solo uno dei modi per scriverlo.

prova a scrivere quello che hai fatto. ciao.

[Andrea902]

Ada scusa ma forse allora non mi è chiaro il testo. Nel testo, dal momento che si precisa il verso positivo, non si richiede la discussione dei segni con il valore assoluto?

[adaBTTLS1]

il testo ti dice solo che devi trovare OP in funzione di x e di R, e ti dice che il verso positivo di percorrenza è quello da A a B.
questo significa che ti deve venire un'espressione che si annulla quando P coincide con O, negativa quando P è tra A ed O, positiva quando P è tra O e B, perché parla di OP e non di PO e nemmeno di $bar(OP)$ che ne è la lunghezza.
io non mi sono avventurata nella discussione, ma se devi fare la discussione non devi far altro che studiare il segno dell'espressione ricavata per vedere se è compatibile con la figura e con quanto ho appena scritto.
non prendere per oro colato il mio risultato e proponi il tuo. se c'è qualcosa che non va, lo troveremo.
io ho seguito lo stesso metodo che aveva indicato Tul, però senza trovare PH ma applicando il comporre alla proporzione data dal teorema della bisettrice, per cui verrebbe:
$(AP+PH) : (AP) = (AM+MH) : (AM)$, dove $AM=2Rcosx$, $MH=AMsenx=2Rcosxsenx$, $AP+PH=AH=AMcosx=2Rcos^2x$.

ciao. spero sia chiaro.

[Andrea902]

Ok, tutto chiaro!
Grazie per le risposte!

Andrea

[adaBTTLS1]

prego!