Problema di trigonometria
ciao ragazzi...potreste aiutarmi a risolvere questo problema di trigonometria??
allora, dice così:
internamente al quadrato ABCD di lato l, si disegni la semicirconferenza di diametro AB e su di essa si consideri il punto P. Si determini l'ampiezza dell'angolo PAB in modo che la somma dei quadrati delle distanze di P dai vertici D e C sia l^2.
allora x iniziare io intendevo applicare il teorema della corda sulle corde PB e PA..inizio bene?? poi...come continuare?!
grazie in anticipo!
allora, dice così:
internamente al quadrato ABCD di lato l, si disegni la semicirconferenza di diametro AB e su di essa si consideri il punto P. Si determini l'ampiezza dell'angolo PAB in modo che la somma dei quadrati delle distanze di P dai vertici D e C sia l^2.
allora x iniziare io intendevo applicare il teorema della corda sulle corde PB e PA..inizio bene?? poi...come continuare?!
grazie in anticipo!
Risposte
allora...io procederei così
siano nell'ordine $A$, $B$, $C$ e $D$ i vertici del quadrato e siano essi disposti in senso antiorario partendo dal basso a sinistra
detti $P$ un generico punto della semicirconferenza interna al quadrato di diametro $AB$ e $alpha$ l'ampiezza dell'angolo $PAB$, il problema chiede di stabilire l'ampiezza $alpha$ tale per cui $PD^2+PC^2=l^2$ ove $l$ è la misura del lato del quadrato
detto ciò, congiungendo $P$ con $C$ e con $D$ si ottiene un triangolo; inoltre, il teorema di Pitagora è anche vero al contrario: se in un trinagolo il quadrato construito su un lato è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati allora esso è rettangolo con l'angolo retto tra il lati i cui quadrati vengono sommati (per dimostrarlo si potrebbe usare il teorema del coseno: $a^2=b^2+c^2-2bc cdot cos theta$ ove $theta$ è l'angolo tra $b$ e $c$ e $a$, $b$, $c$ sono i lati del triangolo; affinché sia $a^2=b^2+c^2$ deve essere $2bc cos theta=0 rightarrow theta=pi/2$); ciò detto, affinché sia verificato quanto chiesto nella traccia deve dunque essere $DPC=pi/2$
a questo punto è evidente che l'unica posizione di $P$ per cui ciò si verifica è quando $P$ è equidistante dai vertici del quadrato: $P$ sta, cioè, sull'intersezione delle diagonali del quadrato e sulla semicirconferenza; segue che $PAB=pi/4$
P.S.: $P$ può stare solo lì perchè ogni triangolo è inscrittibile in una circonferenza, perchè un triagolo rettangolo inscritto in una circonferenza ha la sua ipotenusa che funge da diametro e perchè una circonferenza di centro e diametro fissati è unica
P.P.S.: spero di non avere commesso orrori
siano nell'ordine $A$, $B$, $C$ e $D$ i vertici del quadrato e siano essi disposti in senso antiorario partendo dal basso a sinistra
detti $P$ un generico punto della semicirconferenza interna al quadrato di diametro $AB$ e $alpha$ l'ampiezza dell'angolo $PAB$, il problema chiede di stabilire l'ampiezza $alpha$ tale per cui $PD^2+PC^2=l^2$ ove $l$ è la misura del lato del quadrato
detto ciò, congiungendo $P$ con $C$ e con $D$ si ottiene un triangolo; inoltre, il teorema di Pitagora è anche vero al contrario: se in un trinagolo il quadrato construito su un lato è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati allora esso è rettangolo con l'angolo retto tra il lati i cui quadrati vengono sommati (per dimostrarlo si potrebbe usare il teorema del coseno: $a^2=b^2+c^2-2bc cdot cos theta$ ove $theta$ è l'angolo tra $b$ e $c$ e $a$, $b$, $c$ sono i lati del triangolo; affinché sia $a^2=b^2+c^2$ deve essere $2bc cos theta=0 rightarrow theta=pi/2$); ciò detto, affinché sia verificato quanto chiesto nella traccia deve dunque essere $DPC=pi/2$
a questo punto è evidente che l'unica posizione di $P$ per cui ciò si verifica è quando $P$ è equidistante dai vertici del quadrato: $P$ sta, cioè, sull'intersezione delle diagonali del quadrato e sulla semicirconferenza; segue che $PAB=pi/4$
P.S.: $P$ può stare solo lì perchè ogni triangolo è inscrittibile in una circonferenza, perchè un triagolo rettangolo inscritto in una circonferenza ha la sua ipotenusa che funge da diametro e perchè una circonferenza di centro e diametro fissati è unica
P.P.S.: spero di non avere commesso orrori
Dunque la risposta di WiZaRd, corretta, si basa più che altro su considerazioni non prettamente trigonometriche, non ci sono calcoli e applicazioni di teoremi sui triangoli, come richiede il problema in questione: in un problema di trigonometria sarebbe meglio applicare la trigonometria.
Partendo dal teorema della corda (o dei triangoli rettangoli, dato che APB è inscritto in mezza circonferenza) calcoli le due corde (cateti) come hai gia fatto credo.
Poi se l'angolo PAB si chiama x, l'angolo DAP sara (pi/2-x). A questo punto applichi il teorema del coseno al triangolo DAP e ti trovi DC.
Facilmente ricavi che anche l'angolo PBC misura x, per cui teorema del coseno applicato l triangolo PBC per trovare PC.
Hai tutto cosi: imposti l'equazione e ricavi x.
N:B: Ricordati di imporre i limiti di variazione dell'ingognita...x è un angolo acuto in un triangolo rettangolo.
Partendo dal teorema della corda (o dei triangoli rettangoli, dato che APB è inscritto in mezza circonferenza) calcoli le due corde (cateti) come hai gia fatto credo.
Poi se l'angolo PAB si chiama x, l'angolo DAP sara (pi/2-x). A questo punto applichi il teorema del coseno al triangolo DAP e ti trovi DC.
Facilmente ricavi che anche l'angolo PBC misura x, per cui teorema del coseno applicato l triangolo PBC per trovare PC.
Hai tutto cosi: imposti l'equazione e ricavi x.
N:B: Ricordati di imporre i limiti di variazione dell'ingognita...x è un angolo acuto in un triangolo rettangolo.
A me invece la risposta di WiZaRd ,sebbene un po'...prolissa,piace.
Se lo scopo della geometria e' quella di 'far ragionare',ben vengano
le interpretazioni puramente sintetiche (laddove possibili).
Avevo pronta una mia soluzione senza calcoli,ma WiZaRd mi ha bruciato
e quindi mi consolo postando...la figura !!
L'unica soluzione e' data dal punto $bar(P)$
karl
Hai ragione Karl, lo scopo della geometria è di far ragionare...anche a me piace la risoluzione di Wizard, però credo che lo scopo dell'esercizio sia invece e soprattutto l'applicazione della trigonometria, come ho gia detto. Per questo è ai fini didattici più appropriata una risoluzione che la sfrutti. Senza nulla togliere alle risoluzioni logico-sintetiche.
mi fa piacere che la mia soluzione sia corretta e vi vada bene 
non ho messo quella "puramente" trigonometrica perchè avevo da fare
ciao
non ho messo quella "puramente" trigonometrica perchè avevo da fare
ciao
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