PROBLEMA DI TRIGONOMETRIA

[PILLOS1]

In una semicirconferenza di diametro AB pari a "2r" è inscritto un triangolo rettangolo isoscele ABC.
Preso un punto P sull'arco AC, calcolare il massimo della somma delle misure dei tre segmenti PA,PB e PC cioè PA+PB+PC senza l'ausilio delle derivate.
Il problema non mi sembra difficile, ma a me viene un altro risultato anzichè quello riportato dal libro e cioè: 2r*radice quadrata di 3. Potete aiutarmi a capire ciò? Grazie.

[Sk_Anonymous]

A me viene $rsqrt3(3+2sqrt2)$
Ma $2rsqrt3$ e' il risultato del libro o e' il tuo?
Archimede.

[PILLOS1]

Il risultato $2r*sqrt3$ è quello riportato dal testo di matematica. Quindi vedo che anche ad altri non viene. Comunque potreste esplicitare i vostri passaggi matematici così possiamo confrontarci?Grazie.

[Sk_Anonymous]

Posto PBA=x si ha :
PA=2rsinx,PB=2rcosx,PC=2rsin(45°-x)
Pertanto la funzione da rendere massima e' :
$f(x)=2r[sinx+cosx+sin(45°-x)]=2r[sinx+cosx+sqrt2/2cosx-sqrt2/2sinx]=r[(2-sqrt2)sinx+(2+sqrt2)cosx], 0<=x<=45°$
Per evitare l'uso di derivate scriviamo f(x) cosi':
$f(x)=r/((2-sqrt2))[sinx+(2+sqrt2)/(2-sqrt2)cosx]=r/((2-sqrt2))[sinx+(3+2sqrt2)cosx]$
Ponendo $tan alpha =3+2sqrt2$ ne segue:
$f(x)=r/((2-sqrt2)cos alpha)[sinxcos alpha+sin alpha cosx]=r/((2-sqrt2)cos alpha)sin(x+alpha)$
Da cio' si vede che f(x) e' massima quando e' $sin(x+alpha)=1->x=pi/2-alpha e quindi tale massimo e':
$maxf(x)=r/((2-sqrt2)cos alpha)$
Ora $cos alpha= 1/(sqrt(1+tan^2 alpha))=1/(2sqrt3+sqrt6)$
e quindi sostituendo in maxf(x) e razionalizzando si giunge al risultato che ho indicato.
Archimede

[MaMo2]

"archimede":
....
Pertanto la funzione da rendere massima e' :
$f(x)=2r[sinx+cosx+sin(45°-x)]=2r[sinx+cosx+sqrt2/2cosx-sqrt2/2sinx]=r[(2-sqrt2)sinx+(2+sqrt2)cosx], 0<=x<=45°$
Per evitare l'uso di derivate scriviamo f(x) cosi':
$f(x)=r/((2-sqrt2))[sinx+(2+sqrt2)/(2-sqrt2)cosx]=r/((2-sqrt2))[sinx+(3+2sqrt2)cosx]$
....
Archimede

Archimede, penso che tu abbia fatto un errore. La funzione diventa:
$f(x)=r(2-sqrt2)[sinx+(2+sqrt2)/(2-sqrt2)cosx]=r(2-sqrt2)[sinx+(3+2sqrt2)cosx]$
Le altre considerazioni restano valide ma il valore massimo della funzione è quello indicato dal testo.

[Sk_Anonymous]

Ho preso un "*" per un "/" ! Grazie mamo per avermelo fatto notare.
Correggo.
Per evitare l'uso di derivate scriviamo f(x) cosi':
$f(x)=r(2-sqrt2)[sinx+(2+sqrt2)/(2-sqrt2)cosx]=r(2-sqrt2)[sinx+(3+2sqrt2)cosx]$
Ponendo $tan alpha =3+2sqrt2$ ne segue:
$f(x)=r(2-sqrt2)/(cos alpha)[sinxcos alpha+sin alpha cosx]=r(2-sqrt2)/(cos alpha)sin(x+alpha)$
Da cio' si vede che f(x) e' massima quando e' $sin(x+alpha)=1->x=pi/2-alpha $maxf(x)=r(2-sqrt2)/(cos alpha)$
Ora $cos alpha= 1/(sqrt(1+tan^2 alpha))=1/(2sqrt3+sqrt6)$
e quindi sostituendo in maxf(x) e moltiplicando si giunge al risultato indicato dal testo.

[PILLOS1]

Un ringraziamento a tutti quelli che hanno risposto anche perchè grazie a loro ho capito l'errore (banale) che avevo fatto. Ciao.