Problema di trigonometria

[oleg.fresi]

Ho questo problema: nel triangolo ABC l'angolo B è ottuso e AH è l'altezza relativa al lato BC. Sapendo che HB è 12 cm, che HC è 48cm e $tg(C) = 1/3$, determina i lati e gli angoli del triangolo. Sono riuscito a trovare il lato AB che misura 20cm, AC $16sqrt(10)$, BC misura 36cm e l'angolo C misura circa 19°. Il problema è che non capisco come trovare l'angolo A e B. Potreste aiutarmi per favore?

[Sascia63]

Ci sono molti modi per trovare gli angoli in A e in B.
O usi il teorema dei seni, considerando che $ sin(C)=(AH)/(AC)=1/sqrt(10) $ e quindi $ (AB)/sin(C)=(BC)/sin(A) $ da qui ricavi il seno di A, poi il resto è facile. Oppure puoi trovare l'area del triangolo $ A=1/2*AB*AC*sin(A) rArr sin(A)=(2A)/(AB*AC) $

[oleg.fresi]

Sai, avevo gia pensato al teorema dei seni, ma vorrei utilizzare un metodo che riguardi solo i primi teoremi sui trinagoli rettangoli, poichè l'esercizio è inserito in quella sezione, del resto i metodi da te consigliati sono validissimi.

[Sascia63]

Ah okay, ora che ci sto pensando puoi usare il fatto che $ sin(pi-B)=sin(B) $ noi sappiamo che $ sin(pi-B)=(AH)/(AB) rArr sin (B)=(AH)/(AB) $.

[oleg.fresi]

Grazie mille, il risultato dà giusto! Ovviamente adesso per l'angolo A si puo fare lo stesso,vero?

[Sascia63]

Per l'angolo A devi sfruttare sempre l'altezza relativa alla rispettiva base (in questo caso AC), chiamiamola BK, tale altezza puoi trovarla facilmente.Noi sappiamo che l'area è uguale a $ A=(b*h)/2$ quindi $ (BC*AH)/2=(AC*BK)/2 rArr BK= (BC*AH)/(AC) $.
Ora possiamo calcolare il seno di A infatti $ sin(A)=(BK)/(AB)=(BC*AH)/(AC*AB) $

[oleg.fresi]

Ti ringrazio tanto per l'aiuto, davvero gentile a esporre il ragionamento.