Problema di secondo grado di geometria
Salve a tutti
ho questo problema che non riesco a risolvere.
Un trapezio rettangolo ABCD è circoscritto a una circonferenza di diametro AD=24 cm.
Il punto P di tangenza divide il lato obliquo CB in due parti CP e PB tali che
$CP+\frac{1}{2}PB=17$ cm.
Calcolare l'area del trapezio.
Ho pensato di utilizzare il teorema della uguaglianza della somma dei lati opposti di un quadrilatero circoscritto, ma tale teorema riguarda un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza, non a una semicirconferenza.
Graficamente ho notato che il quadrilatero si può dividere in due coppie di triangoli rettangoli congruenti e quindi ...
Però non riesco a risolvere il problema...
Gradirei qualche indicazione.
Grazie e saluti
Giovanni C.
ho questo problema che non riesco a risolvere.
Un trapezio rettangolo ABCD è circoscritto a una circonferenza di diametro AD=24 cm.
Il punto P di tangenza divide il lato obliquo CB in due parti CP e PB tali che
$CP+\frac{1}{2}PB=17$ cm.
Calcolare l'area del trapezio.
Ho pensato di utilizzare il teorema della uguaglianza della somma dei lati opposti di un quadrilatero circoscritto, ma tale teorema riguarda un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza, non a una semicirconferenza.
Graficamente ho notato che il quadrilatero si può dividere in due coppie di triangoli rettangoli congruenti e quindi ...
Però non riesco a risolvere il problema...
Gradirei qualche indicazione.
Grazie e saluti
Giovanni C.
Risposte
Il trapezio è circoscritto ad una circonferenza (come dici nel testo) o ad una semicirconferenza (come fai capire quando spieghi i tentativi fatti)?
Credo che sia circoscritto alla circonferenza. Allora:
1) applicando al triangolo rettangolo BOC (O centro della circonferenza) il 2° teorema di Talete ($OP^2=CP*PB$) ottieni l'equazione che ti consente di ricavare CP e PB;
2) applica la proprietà dei quadrilateri circoscritti (che hai ricordato) ed ottieni la somma delle basi;
3) puoi calcolare l'area.
Credo che sia circoscritto alla circonferenza. Allora:
1) applicando al triangolo rettangolo BOC (O centro della circonferenza) il 2° teorema di Talete ($OP^2=CP*PB$) ottieni l'equazione che ti consente di ricavare CP e PB;
2) applica la proprietà dei quadrilateri circoscritti (che hai ricordato) ed ottieni la somma delle basi;
3) puoi calcolare l'area.
"igiul":
Il trapezio è circoscritto ad una circonferenza (come dici nel testo) o ad una semicirconferenza (come fai capire quando spieghi i tentativi fatti)?
Stesso dubbio che era venuto a me. Anche perché ho provato a risolverlo nel caso della circonferenza ma non mi trovo: mi viene una soluzione non ammissibile. A meno che io non abbia sbagliato qualche calcolo.
Invece nel caso sia una semicirconferenza, come fa il diametro ad essere $AD$? Qui c'è qualcosa che non torna...
"minomic":
... ho provato a risolverlo nel caso della circonferenza ma non mi trovo: mi viene una soluzione non ammissibile.
Io invece trovo due soluzioni.
"minomic":
Invece nel caso sia una semicirconferenza, come fa il diametro ad essere $AD$? Qui c'è qualcosa che non torna...
E' questo che mi fa pensare che sia una circonferenza.
"igiul":
[quote="minomic"]
... ho provato a risolverlo nel caso della circonferenza ma non mi trovo: mi viene una soluzione non ammissibile.
Io invece trovo due soluzioni.[/quote]
Dunque, vediamo un po' perché anche io trovo due soluzioni ma nessuna è ammissibile. La base minore, che io ho chiamato $AB$, è composta dalla somma di due segmenti: uno corrisponde al raggio e vale $12$, mentre l'altro quanto ti viene? A me verrebbe o $16$ o $18$. Ovviamente a meno di miei, probabili, errori di calcolo!
@minomic
Non ho calcolato le basi, non servono. La loro somma é uguale alla soma del lato obliquo e dell'altezza.
16 e 18 sono le due misure che ho trovato per PB.
Non ho trovato un valido motivo per escludere una delle due.
P.S. AB per me è la base maggiore.
Non ho calcolato le basi, non servono. La loro somma é uguale alla soma del lato obliquo e dell'altezza.
16 e 18 sono le due misure che ho trovato per PB.
Non ho trovato un valido motivo per escludere una delle due.
P.S. AB per me è la base maggiore.
Esatto! Infatti $BP$ e quel segmento di cui parlavo sono congruenti per il teorema dei segmenti di tangenza condotti da un punto esterno.
Ti dico come avevo ragionato io: prendiamo questo grafico (non è fatto benissimo ma forse riusciamo a capirci)
Chiamiamo $PB = 2x$, quindi $AB = DH = 12+2x$. Invece $PC = CH = 17-x$. Inoltre $AD = BH = 24$. Di conseguenza $DC = 12+17-x = 29-x$. Infine $BC = x+17$.
A questo punto, per Pitagora, $CH= sqrt((x+17)^2-24^2)$. Quindi da una parte $DC = 29-x$ e dall'altra $DC = DH + CH = 12+2x+sqrt((x+17)^2-24^2)$.
L'equazione è quindi $12+2x+sqrt((x+17)^2-24^2) = 29-x$ da cui si ricava infine
\[
\sqrt{\left(x+17\right)^2-24^2} = 17-3x
\] Elevando al quadrato e risolvendo si trova effettivamente \(x = 8 \vee x = 9\) ma doveva valere la condizione \(17-3x \ge 0\), che non è soddisfatta da nessuna delle due soluzioni. Per questo dicevo che non sono ammissibili... Sbaglio qualcosa? Probabilmente sì...
Ti dico come avevo ragionato io: prendiamo questo grafico (non è fatto benissimo ma forse riusciamo a capirci)
Chiamiamo $PB = 2x$, quindi $AB = DH = 12+2x$. Invece $PC = CH = 17-x$. Inoltre $AD = BH = 24$. Di conseguenza $DC = 12+17-x = 29-x$. Infine $BC = x+17$.
A questo punto, per Pitagora, $CH= sqrt((x+17)^2-24^2)$. Quindi da una parte $DC = 29-x$ e dall'altra $DC = DH + CH = 12+2x+sqrt((x+17)^2-24^2)$.
L'equazione è quindi $12+2x+sqrt((x+17)^2-24^2) = 29-x$ da cui si ricava infine
\[
\sqrt{\left(x+17\right)^2-24^2} = 17-3x
\] Elevando al quadrato e risolvendo si trova effettivamente \(x = 8 \vee x = 9\) ma doveva valere la condizione \(17-3x \ge 0\), che non è soddisfatta da nessuna delle due soluzioni. Per questo dicevo che non sono ammissibili... Sbaglio qualcosa? Probabilmente sì...
@minomic
Hai impostato il problema in modo diverso da me (puoi vedere pù su la mia prima risposta), ma in modo corretto.
Comunque osserva che:
$17-3x=DC-AB=CH$
è ciò che scaturisce dai tuoi calcoli. Non conoscendo il valore di $x$ il $17-3x$ dovrebbe essere in valore assoluto.
Credo che questo dovrebbe sciogliere i tuoi dubbi.
Hai impostato il problema in modo diverso da me (puoi vedere pù su la mia prima risposta), ma in modo corretto.
Comunque osserva che:
$17-3x=DC-AB=CH$
è ciò che scaturisce dai tuoi calcoli. Non conoscendo il valore di $x$ il $17-3x$ dovrebbe essere in valore assoluto.
Credo che questo dovrebbe sciogliere i tuoi dubbi.
Ah giusto, mettendo il valore assoluto ci siamo perfettamente!
"igiul":
Il trapezio è circoscritto ad una circonferenza (come dici nel testo) o ad una semicirconferenza (come fai capire quando spieghi i tentativi fatti)?
Credo che sia circoscritto alla circonferenza. Allora:
1) applicando al triangolo rettangolo BOC (O centro della circonferenza) il 2° teorema di Talete ($OP^2=CP*PB$) ottieni l'equazione che ti consente di ricavare CP e PB;
2) applica la proprietà dei quadrilateri circoscritti (che hai ricordato) ed ottieni la somma delle basi;
3) puoi calcolare l'area.
Il trapezio rettangolo è circoscritto ad una semicirconferenza (ho sbagliato a scrivere).
Con il procedimento che dici tu dovrebbe venire giusto, però occorrerebbe dimostrare che il triangolo BOC è rettangolo.
"gcappellotto":
Il trapezio rettangolo è circoscritto ad una semicirconferenza (ho sbagliato a scrivere).
Con il procedimento che dici tu dovrebbe venire giusto, però occorrerebbe dimostrare che il triangolo BOC è rettangolo.
Ma allora AD è un raggio... non un diametro ??
"gcappellotto":
... però occorrerebbe dimostrare che il triangolo BOC è rettangolo.
La dimostrazione è abbastanza semplice:
1) glia angoli del trapezio adiacenti al lato obliquo sono supplementari;
2) la congiungente un punto esterno con il centro della circonferenza è bisettrice dell'angolo formato dalle tangenti alla circonferenza condotte dal punto;
3) ne consegue che gli angoli in B e C del triangolo BOC sono complementari e pertanto BOC è retto in O.
P.S. ... ma AD è il raggio? perchè se ABCD è circoscritto ad una semicirconferenza non può essere AD=diametro.
Ti do un suggerimento su come risolvere il problema. I calcoli poi li fai tu.
AD = raggio = altezza del trapezio
AB= base maggiore
O centro della semicirconferenza.
CH altezza
I triangoli CHB e OPB sono congruenti: sono retti con un angolo acuto in comune ed un cateto (i raggi CH e OP) congruente.
Allora OB=BC.
Puoi porre $BP=2x$ e poi ....
AD = raggio = altezza del trapezio
AB= base maggiore
O centro della semicirconferenza.
CH altezza
I triangoli CHB e OPB sono congruenti: sono retti con un angolo acuto in comune ed un cateto (i raggi CH e OP) congruente.
Allora OB=BC.
Puoi porre $BP=2x$ e poi ....
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