Problema di riepilogo di geometria euclidea
Salve e buon pomeriggio a tutto il forum.
Questa è la mia prima richiesta
La nostra professoressa ci ha lasciato alcuni problemi di geometria per le vacanze estive e mi diletto a farli nel tempo libero
Il problema in questione dice:
"Determinare i lati di un trapezio iscoscele circoscritto a una circonferenza di raggio r, sapendo che il suo perimetro misura 2p".
Mi è subito sembrato troppo astratto e generico, ho disegnato la figura con i dati e le richieste ma non riesco ad individuare un ragionamento da seguire, potreste aiutarmi?
Dico inoltre che sono in seconda liceo linguistico brocca (quindi posso usare le conoscenze di tutto il biennio del liceo scientifico)
Questa è la mia prima richiesta
La nostra professoressa ci ha lasciato alcuni problemi di geometria per le vacanze estive e mi diletto a farli nel tempo libero
Il problema in questione dice:
"Determinare i lati di un trapezio iscoscele circoscritto a una circonferenza di raggio r, sapendo che il suo perimetro misura 2p".
Mi è subito sembrato troppo astratto e generico, ho disegnato la figura con i dati e le richieste ma non riesco ad individuare un ragionamento da seguire, potreste aiutarmi?
Dico inoltre che sono in seconda liceo linguistico brocca (quindi posso usare le conoscenze di tutto il biennio del liceo scientifico)
Risposte
ciao gaia
beh ti basta sfruttare un teorema di geometria euclidea che dice che se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.
nel tuo caso la somma delle basi è uguale alla somma dei 2 lati obliqui.
se ti fai il disegno ti accorgi subito di avere anche la misura dell'altezza,inoltre hai la misura del perimetro...
usando tutti questi dati e usando il teorema di pitagora,hai praticamente risolto il problema!!
beh ti basta sfruttare un teorema di geometria euclidea che dice che se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.
nel tuo caso la somma delle basi è uguale alla somma dei 2 lati obliqui.
se ti fai il disegno ti accorgi subito di avere anche la misura dell'altezza,inoltre hai la misura del perimetro...
usando tutti questi dati e usando il teorema di pitagora,hai praticamente risolto il problema!!
Scopo dell'esercizio è determinare i lati del trapezio iscocele ini funzione del perimetro (quindi di $p$) e del raggio $r$
Per iniziare ti consiglio di indicare con $B$ la base maggiore, con $b$ la base minore e con $l$ ciascuno dei due lati obliqui (che sono uguali, dato che il trapezio è isoscele. Con questo formalismo, puoi senz'altro dire che $2p=b+B+l+l$, ovvero $2p=b+B+2l$
Poi, ti può essere utile la seguente proposizione, che dovresrti conoscere:
Riesci a dire qualcosa?
Per iniziare ti consiglio di indicare con $B$ la base maggiore, con $b$ la base minore e con $l$ ciascuno dei due lati obliqui (che sono uguali, dato che il trapezio è isoscele. Con questo formalismo, puoi senz'altro dire che $2p=b+B+l+l$, ovvero $2p=b+B+2l$
Poi, ti può essere utile la seguente proposizione, che dovresrti conoscere:
Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.
Riesci a dire qualcosa?
Giusto, non mi era venuto in mente!
Ho proceduto così: $AD=CB=p/2$. L'altezza $CK=2r$. Applico il Th. di Pitagora per trovare la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore, cioè $sqrt(p^2-16r^2)/2$. Quindi $DC=(p-((2sqrt(p^2-16r^2))/2))/2=(p-sqrt(p^2-16r^2))/2$. La base maggiore invece è $(p-sqrt(p^2-16r^2))/2+2sqrt(p^2-16r^2)/2=(p+sqrt(p^2-16r^2))/2$.
Ho fatto bene?
Ho proceduto così: $AD=CB=p/2$. L'altezza $CK=2r$. Applico il Th. di Pitagora per trovare la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore, cioè $sqrt(p^2-16r^2)/2$. Quindi $DC=(p-((2sqrt(p^2-16r^2))/2))/2=(p-sqrt(p^2-16r^2))/2$. La base maggiore invece è $(p-sqrt(p^2-16r^2))/2+2sqrt(p^2-16r^2)/2=(p+sqrt(p^2-16r^2))/2$.
Ho fatto bene?
Sì... tutto giusto 
Perfetto, grazie ad entrambi.
Però ripercorrendo il ragionamento, non dovrei anche discutere e mettere delle condizioni di esistenza sui radicali?
Però ripercorrendo il ragionamento, non dovrei anche discutere e mettere delle condizioni di esistenza sui radicali?
Se $0
Se $p=4r$, ???, il trapezio sarebbe un quadrato?
Se $p=4r$, ???, il trapezio sarebbe un quadrato?
Si, è come dici tu... Però penso che il caso $0CK$ da cui $p/2>2r rArr p>4r$.
Inoltre il caso $p=4r$ (che fa sì che il trapezio sia un quadrato) è un caso patologico, anche se possibile
Inoltre il caso $p=4r$ (che fa sì che il trapezio sia un quadrato) è un caso patologico, anche se possibile
Ho capito, sei stato chiarissimo. Grazie Gi8! 
@Gaia.Grecu
Cortesemnte, non scrivere sempre in corsivo: tipograficamente il corsivo serve ad enfatizzare il testo e capirai che se tutti ci mettessimo a scrivere in corsivo questo non sarebbe il massimo per il forum.
Grazie.
Cortesemnte, non scrivere sempre in corsivo: tipograficamente il corsivo serve ad enfatizzare il testo e capirai che se tutti ci mettessimo a scrivere in corsivo questo non sarebbe il massimo per il forum.
Grazie.
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