Problema di probabilità: teorema di Bayes.
Salve a tutti quanti, avrei bisogno di un aiutino con questo esercizio:
Si sceglie un'urna fra tre gettando contemporaneamente due dadi:
se escono due numeri primi si sceglie la prima urna;
se escono due numeri uguali (ma non entrambi primi) la seconda urna;
altrimenti la terza.
La prima urna contiene 6 palline numerate da 1 a 6;
la seconda contiene 7 palline numerate da 1 a 7;
la terza 8 palline numerate da 1 a 8.
Si estraggono consecutivamente, senza rimettere la pallina estratta nell'urna, 4 palline. Sapendo che sono state estratte due palline con un numero pari e due con un numero dispari, calcola la probabilità che esse provengano da ciascuna delle urne.
I risultati dovrebbero essere: $7/25$ , $2/25$ , $16/25$.
Io avrei provato a fare in questo modo:
La scelta della prima urna ha probabilità $3/6$ (tre numeri primi su sei del dado) per $1/6$ (il numero del primo dado su sei del secondo) e quindi $3/6 * 1/6 = 1/12$
La scelta della seconda urna ha probabilità $3/6$ (tre numeri non primi su sei del dado per $1/6$ (la probabilità che il numero del primo dado si presenti anche sul secondo) e quindi sempre $1/12$.
Di conseguenza la probabilità che venga scelta la terza urna sarà 1- la probabilità che vengano scelte la prima oppure la seconda urna: $1- 2*1/12 =5/6$.
La probabilità che escano due numeri pari e due dispari subordinata alla scelta della prima urna è: $(3*2*3*2)/(6*5*4*3) *(4!)/(2!*2!)$.
" " seconda " " $(4*3*3*2)/(7*6*5*4) *(4!)/(2!*2!) $.
" " terza " " $(4*3*4*3)/(8*7*6*5)*(4!)/(2!*2!)$.
Quindi la probabilità che escano due numeri pari e due numeri dispari deve essere:
$1/12 * (3*2*3*2)/(6*5*4*3) *(4!)/(2!*2!) + 1/12 * (4*3*3*2)/(7*6*5*4) *(4!)/(2!*2!) + 5/6 *(4*3*4*3)/(8*7*6*5)*(4!)/(2!*2!)$.
la probabilità della scelta della prima urna condizionata all'uscita di due numeri pari e due dispari dovrebbe essere:
per la prima urna:
$((1/12 * (3*2*3*2))/((6*5*4*3) *(4!)/(2!*2!)))/(1/12 * (3*2*3*2)/(6*5*4*3) *(4!)/(2!*2!) + 1/12 * (4*3*3*2)/(7*6*5*4) *(4!)/(2!*2!) + 5/6 *(4*3*4*3)/(8*7*6*5)*(4!)/(2!*2!))$
per la seconda:
$(1/12 * (4*3*3*2)/(7*6*5*4) *(4!)/(2!*2!))/( 1/12 * (3*2*3*2)/(6*5*4*3) *(4!)/(2!*2!) + 1/12 * (4*3*3*2)/(7*6*5*4) *(4!)/(2!*2!) + 5/6 *(4*3*4*3)/(8*7*6*5)*(4!)/(2!*2!))$
Per la terza:
$(5/6 *(4*3*4*3)/(8*7*6*5)*(4!)/(2!*2!))/( 1/12 * (3*2*3*2)/(6*5*4*3) *(4!)/(2!*2!) + 1/12 * (4*3*3*2)/(7*6*5*4) *(4!)/(2!*2!) + 5/6 *(4*3*4*3)/(8*7*6*5)*(4!)/(2!*2!))$
L'unico problema è che i miei risultati sono:
$7/19$, $6/19$, $6/19$.
Si sceglie un'urna fra tre gettando contemporaneamente due dadi:
se escono due numeri primi si sceglie la prima urna;
se escono due numeri uguali (ma non entrambi primi) la seconda urna;
altrimenti la terza.
La prima urna contiene 6 palline numerate da 1 a 6;
la seconda contiene 7 palline numerate da 1 a 7;
la terza 8 palline numerate da 1 a 8.
Si estraggono consecutivamente, senza rimettere la pallina estratta nell'urna, 4 palline. Sapendo che sono state estratte due palline con un numero pari e due con un numero dispari, calcola la probabilità che esse provengano da ciascuna delle urne.
I risultati dovrebbero essere: $7/25$ , $2/25$ , $16/25$.
Io avrei provato a fare in questo modo:
La scelta della prima urna ha probabilità $3/6$ (tre numeri primi su sei del dado) per $1/6$ (il numero del primo dado su sei del secondo) e quindi $3/6 * 1/6 = 1/12$
La scelta della seconda urna ha probabilità $3/6$ (tre numeri non primi su sei del dado per $1/6$ (la probabilità che il numero del primo dado si presenti anche sul secondo) e quindi sempre $1/12$.
Di conseguenza la probabilità che venga scelta la terza urna sarà 1- la probabilità che vengano scelte la prima oppure la seconda urna: $1- 2*1/12 =5/6$.
La probabilità che escano due numeri pari e due dispari subordinata alla scelta della prima urna è: $(3*2*3*2)/(6*5*4*3) *(4!)/(2!*2!)$.
" " seconda " " $(4*3*3*2)/(7*6*5*4) *(4!)/(2!*2!) $.
" " terza " " $(4*3*4*3)/(8*7*6*5)*(4!)/(2!*2!)$.
Quindi la probabilità che escano due numeri pari e due numeri dispari deve essere:
$1/12 * (3*2*3*2)/(6*5*4*3) *(4!)/(2!*2!) + 1/12 * (4*3*3*2)/(7*6*5*4) *(4!)/(2!*2!) + 5/6 *(4*3*4*3)/(8*7*6*5)*(4!)/(2!*2!)$.
la probabilità della scelta della prima urna condizionata all'uscita di due numeri pari e due dispari dovrebbe essere:
per la prima urna:
$((1/12 * (3*2*3*2))/((6*5*4*3) *(4!)/(2!*2!)))/(1/12 * (3*2*3*2)/(6*5*4*3) *(4!)/(2!*2!) + 1/12 * (4*3*3*2)/(7*6*5*4) *(4!)/(2!*2!) + 5/6 *(4*3*4*3)/(8*7*6*5)*(4!)/(2!*2!))$
per la seconda:
$(1/12 * (4*3*3*2)/(7*6*5*4) *(4!)/(2!*2!))/( 1/12 * (3*2*3*2)/(6*5*4*3) *(4!)/(2!*2!) + 1/12 * (4*3*3*2)/(7*6*5*4) *(4!)/(2!*2!) + 5/6 *(4*3*4*3)/(8*7*6*5)*(4!)/(2!*2!))$
Per la terza:
$(5/6 *(4*3*4*3)/(8*7*6*5)*(4!)/(2!*2!))/( 1/12 * (3*2*3*2)/(6*5*4*3) *(4!)/(2!*2!) + 1/12 * (4*3*3*2)/(7*6*5*4) *(4!)/(2!*2!) + 5/6 *(4*3*4*3)/(8*7*6*5)*(4!)/(2!*2!))$
L'unico problema è che i miei risultati sono:
$7/19$, $6/19$, $6/19$.
Risposte
Le probabilità di scelta delle urne sono rispettivamente 9/36 - 3/36 - 24/36
Infatti per la prima vanno bene le seguenti 9 sortite sui dadi:
2 2
2 3
2 5
3 2
3 3
3 5
5 2
5 3
5 5
Infatti per la prima vanno bene le seguenti 9 sortite sui dadi:
2 2
2 3
2 5
3 2
3 3
3 5
5 2
5 3
5 5
Leggo per la prima volta il post, che mi propongo di approfondire (quando Alex lo avrà già risolto, ovviamente 
) trovandolo interessante e stimolante.
Una primissima osservazione è che i numeri primi sulle facce di un dado sono $4/6$, cioè $2/3$, e non $3/6$ come ipotizzi..........
) trovandolo interessante e stimolante.Una primissima osservazione è che i numeri primi sulle facce di un dado sono $4/6$, cioè $2/3$, e non $3/6$ come ipotizzi..........
"superpippone":
........... per la prima vanno bene le seguenti 9 sortite sui dadi:
2 2
2 3
2 5
3 2
3 3
3 5
5 2
5 3
5 5
E
1 1
1 2
1 3
1 5
dove sono?
1 non è un numero primo......
Devo rivedere i casi che ho considerato... non so perché ma ho letto due numeri primi uguali e invece era solo "due numeri primi".
Grazie dell'aiuto.
Grazie dell'aiuto.
Con le probabilità che ti ho indicato, i risultati combaciano con quelli proposti dall'esercizio.
"superpippone":
1 non è un numero primo......
Grazie, ero convinto del contrario..................
A quel che mi ricordo a scuola (preistoria, mi sono diplomato nel 1981....), nella tabellina dei numeri primi c'era anche l'1.
Probabilmente negli anni successivi è stato invece "deliberato" che non lo era più.
Probabilmente negli anni successivi è stato invece "deliberato" che non lo era più.
Beh, allora si spiega tutto: quando mi sono diplomato io c'erano ancora i dinosauri..............
[ot]
Ti sbagli di brutto ... ... questo è il "territorio" di superpippone, è infallibile ... [/ot]
Il numero $1$ non era più primo ben prima del 1981 ... ... che poi è solo una questione di convenzioni ...
Cordialmente, Alex
"teorema55":
... (quando Alex lo avrà già risolto, ovviamente
Ti sbagli di brutto ...
... questo è il "territorio" di superpippone, è infallibile ... [/ot]Il numero $1$ non era più primo ben prima del 1981 ...
... che poi è solo una questione di convenzioni ...Cordialmente, Alex
Alex: ti ringrazio per la "sviolinata", ma non esagerare. Che poi mi monto la testa, e scrivo sicuro qualche baggianata...
Per quanto riguarda il numero $1$, anch'io lo consideravo primo.
Questo, fino a quando non ho cominciato a "frequentare" questo forum...
Per quanto riguarda il numero $1$, anch'io lo consideravo primo.
Questo, fino a quando non ho cominciato a "frequentare" questo forum...
Le cattive compagnie.....................
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