Problema di probabilità
Consideriamo un mazzo ordinario di 52 carte, dal quale vengono estratte due carte, una di seguito all'altra e con reinserimento. Dobbiamo calcolare a) la probabilità di estrarre due re e b) la probabilità di estrarre due re sapendo che sono state estratte due figure. La soluzione del problema per il quesito a) usa il teorema della probabilità composta chiamando E l'evento la prima carta è un re e F l'evento la seconda è un re. Tuttavia, provando a calcolarla a partire dalla definizione classica di probabilità come casi favorevoli su casi totali non mi viene lo stesso risultato. Ho preso come spazio campionario lo spazio delle possibile coppie con ripetizione di 52 carte in cui non conta l'ordine di estrazione, la sua cardinalità è data dalle combinazioni con ripetizione di 52 elementi distinti a gruppi di 2. E questi sono i casi totali 1378. Mentre le coppie favorevoli son date dalle combinazioni con ripetizione di 4 re presi a coppie ossia 10. La probabilità viene così facendo il rapporto di 0.00725. Mentre la soluzione riporta 1/169. Dove sbaglio nel mio ragionamento delle combinazioni con ripetizione?
Risposte
La probabilità di estrarre un re è $4/52=1/13$.
Reimmetti.
La probabilità di estrarre un re è $4/52=1/13$
Quindi $1/13*1/13=1/169$
Reimmetti.
La probabilità di estrarre un re è $4/52=1/13$
Quindi $1/13*1/13=1/169$
Si in quel modo l'ho fatto e mi porta, ma volevo verificarlo anche usando la defizione classica di probabilità come casi favorevoli fratto casi totali. E per conteggiarli usare le combinazioni con ripetizione di 4 elementi a coppie per il numeratore e di 52 elementi a coppie per il denominatore. Ma viene un risultato diverso.
Cioè? È la stessa cosa.
No mi viene diverso. Ho provato a calcolare direttamente tutte le coppie favorevoli e dividerle per tutte le possibili coppie.
Ossia a numeratore ho le combinazioni (non conta ordine) con ripetizione (perchè ho reinserimento) di 4 elementi distinti (i 4 re) di classe 2 (coppia), che sono 10.
Mentre a denominatore ho tutte le possibili combinazioni con ripetizione di 52 elementi sempre di classe 2, che sono 1378.
Quindi viene diverso da 1/169.
Ossia a numeratore ho le combinazioni (non conta ordine) con ripetizione (perchè ho reinserimento) di 4 elementi distinti (i 4 re) di classe 2 (coppia), che sono 10.
Mentre a denominatore ho tutte le possibili combinazioni con ripetizione di 52 elementi sempre di classe 2, che sono 1378.
Quindi viene diverso da 1/169.
"Gauss95":
Ossia a numeratore ho le combinazioni (non conta ordine)
picche poi quadri non è uguale a quadri poi picche
Sì ma come nelle mani di carte non conta l'ordine in cui ti vengano date, se ti vengono dati prima un K di picche e poi un K di quadri o viceversa la coppia di K che hai è sempre la stessa
Hai detto che vuoi contare i casi, no?
Se estrai prima un re di picche e poi un re di quadri, questo è un caso; se invece estrai prima un re di quadri e poi un re di picche, questo è un altro caso, non ti pare?
Cordialmente, Alex
Se estrai prima un re di picche e poi un re di quadri, questo è un caso; se invece estrai prima un re di quadri e poi un re di picche, questo è un altro caso, non ti pare?
Cordialmente, Alex
"Gauss95":
Sì ma come nelle mani di carte non conta l'ordine in cui ti vengano date, se ti vengono dati prima un K di picche e poi un K di quadri o viceversa la coppia di K che hai è sempre la stessa
Temo proprio che tu stia ragionando per cose lette ma non capite. La tua affermazione non vuol dire nulla ed è vera solo se relata a specifici problemi.
Nel nostro caso il problema a) è del tutto equivalente a tirare due dadi a 52 facce (o un dado due volte).
Ora, prendiamo un dado classico a 6 facce. Stando a te la probabilità che escano un 2 e un 6 è pari a 1/36 perchè l'ordine non conta. Riflettici
Quindi dovrei usare semplicemente le disposizioni con ripetizione? 4x4 al numeratore e 52x52 al denominatore così viene semplicemente 1/169.
È la prima volta che mi capitava un esercizio con reinserimento in tutti gli esercizi senza usavo le combinazioni. Per dire se non avessi dovuto reinserire i K avrei fatto a numeratore le combinazioni semplici di 4 k a coppie ossia 6 e a denominatore le combinazioni semplici di 52 carte a coppie, ossia 1326.
Quindi nel caso di reinserimento l'ordine di estrazione è significativo come caso distinto, ho capito bene?
È la prima volta che mi capitava un esercizio con reinserimento in tutti gli esercizi senza usavo le combinazioni. Per dire se non avessi dovuto reinserire i K avrei fatto a numeratore le combinazioni semplici di 4 k a coppie ossia 6 e a denominatore le combinazioni semplici di 52 carte a coppie, ossia 1326.
Quindi nel caso di reinserimento l'ordine di estrazione è significativo come caso distinto, ho capito bene?
"Bokonon":
[quote="Gauss95"]Sì ma come nelle mani di carte non conta l'ordine in cui ti vengano date, se ti vengono dati prima un K di picche e poi un K di quadri o viceversa la coppia di K che hai è sempre la stessa
Temo proprio che tu stia ragionando per cose lette ma non capite. La tua affermazione non vuol dire nulla ed è vera solo se relata a specifici problemi.
Nel nostro caso il problema a) è del tutto equivalente a tirare due dadi a 52 facce (o un dado due volte).
Ora, prendiamo un dado classico a 6 facce. Stando a te la probabilità che escano un 2 e un 6 è pari a 1/36 perchè l'ordine non conta. Riflettici[/quote]
ah ok così si mi è molto più chiaro nel caso di due dadi distinti o di un dado lanciato due volte avrei considerato casi totali tutte le cooppie (i,j) i,j=1,...,6 36 e casi favorevoli (2,6) e (6,2). Probabilmente mi aveva confuso il fatto di un mazzo solo dove reinserivo la carta. Ma come detto da te è identico al dado come se esce 2 "lo rimetto dentro" e poi esce 6 o viceversa. Non so perchè ma con le carte mi confondeva. Grazie
@Gauss95
Prego. Se vuoi possiamo invece ragionare sulle estrazioni senza reinserimento.
Prego. Se vuoi possiamo invece ragionare sulle estrazioni senza reinserimento.
Senza reinserimento dovrei semplicemente avere come spazio campionario lo spazio delle possibili coppie senza ripetizioni di 52 carte e in questo caso l'ordine di estrazione non è importante, quindi i casi totali sono le combinazioni semplici di 52 elementi distinti di classe 2 52x51/2 ossia 1326. Mentre i casi favorevoli sono le combinazioni semplici di 4 K distinti presi a coppie, ossia 6.
@Gauss95
Va bene...ma volevo mettere in evidenza un punto.
Prendiamo $n$ elementi da cui vogliamo estrarre $k$ elementi. In quanti modi possiamo farlo?
Beh, possiamo scegliere fra $n$ elementi, poi da $n-1$ etc etc.
Quindi in totale sono $n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$ e sono tutte le sequenze ordinate di k elementi.
Se moltiplico il tutto per $((n-k)!)/((n-k)!)$ ottengo la versione equivalente, ovvero $(n!)/((n-k)!)$
Infine, se non mi interessa l'ordine, depuro il tutto dalle permutazioni di k elementi, ovvero $k!$ e ottengo $C(n,k)=(n!)/(k!(n-k)!)$
Quando faccio un rapporto usando le combinazioni non ordinate senza ripetizione, avrò:
$(C(i,k))/(C(n,k))=((i!)/(k!(i-k)!))/((n!)/(k!(n-k)!))=((i!)/((i-k)!))/((n!)/((n-k)!))$
Ora diventa chiaro che è irrilevante usare le combinazioni ordinate o meno...ma posso sempre pensarle come ordinate (infatti a meno che gli oggetti siano indistinguibili, non ho ragione di non pensarle ordinate).
Va bene...ma volevo mettere in evidenza un punto.
Prendiamo $n$ elementi da cui vogliamo estrarre $k$ elementi. In quanti modi possiamo farlo?
Beh, possiamo scegliere fra $n$ elementi, poi da $n-1$ etc etc.
Quindi in totale sono $n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$ e sono tutte le sequenze ordinate di k elementi.
Se moltiplico il tutto per $((n-k)!)/((n-k)!)$ ottengo la versione equivalente, ovvero $(n!)/((n-k)!)$
Infine, se non mi interessa l'ordine, depuro il tutto dalle permutazioni di k elementi, ovvero $k!$ e ottengo $C(n,k)=(n!)/(k!(n-k)!)$
Quando faccio un rapporto usando le combinazioni non ordinate senza ripetizione, avrò:
$(C(i,k))/(C(n,k))=((i!)/(k!(i-k)!))/((n!)/(k!(n-k)!))=((i!)/((i-k)!))/((n!)/((n-k)!))$
Ora diventa chiaro che è irrilevante usare le combinazioni ordinate o meno...ma posso sempre pensarle come ordinate (infatti a meno che gli oggetti siano indistinguibili, non ho ragione di non pensarle ordinate).
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