Problema di natura geometrica
Salve vi ringrazio anticipatamente,anche se gli date solo uno sguardo.Si tratta di un problema di natura geometrica di cui non riesco a trovare la soluzione-dimostrazione in nessun modo,inquanto ogni strada che cerco di intraprendere sembra errata.
Data una corda $AE$ di una circonferenza,considera un triangolo isoscele $AEV$ contenente il centro della circonferenza ed avente il vertice $V$ esterno al cerchio.Indicati con $B$ e $D$ i punti di intersezione dei lati $VA$ e $VE$ con la circonferenza,dimostra che le corde $BE$ ed $AD$ sono congruenti e che inoltre $VB$ e $VD$ siano congruenti.GRAZIE MILLE!
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Data una corda $AE$ di una circonferenza,considera un triangolo isoscele $AEV$ contenente il centro della circonferenza ed avente il vertice $V$ esterno al cerchio.Indicati con $B$ e $D$ i punti di intersezione dei lati $VA$ e $VE$ con la circonferenza,dimostra che le corde $BE$ ed $AD$ sono congruenti e che inoltre $VB$ e $VD$ siano congruenti.GRAZIE MILLE!
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Risposte
[mod="cirasa"]Sposto in Secondaria II grado.[/mod]
Suggerimento:
Puoi provare che il triangolo $VDB$ è isoscele. Poi per differenza ottieni che $AD$ ed $ED$ sono congruenti.
E per provare che $VDB$ è isoscele, puoi provare che ha gli angoli alla base congruenti...
Puoi provare che il triangolo $VDB$ è isoscele. Poi per differenza ottieni che $AD$ ed $ED$ sono congruenti.
E per provare che $VDB$ è isoscele, puoi provare che ha gli angoli alla base congruenti...
Ciao,scusa ora rileggendo mi sono accorto di aver mancato un dato nella parte finale,comunque penso che $VDB$ non possa essere un triangolo iscoscele inquanto $DB$ non è un segmento bensi' un arco o sbaglio??
No, non sbagli. Mi sono espresso male 
Al posto dell'arco $DB$ puoi metterci la corda $\bar{DB}$ e ottieni il triangolo di cui ti parlavo.
Altra informazione aggiuntiva: disegna l'altezza del triangolo isoscele $AEV$. Passerà per il centro della circonferenza? Si può dire che la corda $AE$ è parallela alla corda $BD$? Perchè?
Fammi sapere se ci sono problemi...
Al posto dell'arco $DB$ puoi metterci la corda $\bar{DB}$ e ottieni il triangolo di cui ti parlavo.
Altra informazione aggiuntiva: disegna l'altezza del triangolo isoscele $AEV$. Passerà per il centro della circonferenza? Si può dire che la corda $AE$ è parallela alla corda $BD$? Perchè?
Fammi sapere se ci sono problemi...
Si' si puo senz'altro stabilire perche $AE$ e $BD$ sono due rette e sono in questo caso tagliate dalla trasversale $VH$,di conseguenza gli angoli alterni interni sono congruenti e quindi $BE$ e $AD$ sono congruenti,di conseguenza ad angoli congruenti alla circonferenza corrispondono angoli congruenti e quindi $VBD$ avendo gli angoli alla base congruenti è iscoscele (vale a dire $VB$ è congruente a $VD$).Giusto il ragionamento?
E' giusto ma devi giustificare meglio perchè la corda $AE$ è parallela alla corda $BD$.
ci sarebbe un modo piu veloce e rapido,senza l'utilizzo del 5° postulato di Euclide e quindi il ragionamento per assurdo e quant'altro????(Assodato che utilizzo quello per quello conosco per la dimostrazione di due rette tagliate da una trasversale )
)
No, forse non sono stato chiaro.
Supponiamo che abbiamo dimostrato che le corde $AE$ e $DB$ siano parallele.
Allora abbiamo tali corde parallele tagliate dalla trasversale $EB$. Quindi gli angoli $\hat{VBD}$ e $\hat{VAE}$ sono congruenti in quanto alterni interni.
In modo analogo gli angoli $\hat{VDB}$ e $\hat{VAE}$ sono congruenti, in quanto alterni interni delle rette parallele $AE$ e $DB$ tagliate dalla trasversale $AD$.
Essendo gli angoli $\hat{VAE}$ e $\hat{VAE}$ congruenti (angoli alla base di un triangolo isoscele), allora anche $\hat{VDB}$ e $\hat{VBD}$ sono congruenti.
Pertanto il triangolo piccolo è isoscele e perciò segue la tesi.
Questo è più o meno quello che hai detto tu prima (o almeno quello che ho capito).
Il problema è ora che dobbiamo ancora dimostrare che le corde $AE$ e $DB$ sono parallele. Questo non lo abbiamo ancora dimostrato.
Hai in mente qualcosa per dimostrarlo?
Per adesso altre strade non me ne vengono in mente.
Supponiamo che abbiamo dimostrato che le corde $AE$ e $DB$ siano parallele.
Allora abbiamo tali corde parallele tagliate dalla trasversale $EB$. Quindi gli angoli $\hat{VBD}$ e $\hat{VAE}$ sono congruenti in quanto alterni interni.
In modo analogo gli angoli $\hat{VDB}$ e $\hat{VAE}$ sono congruenti, in quanto alterni interni delle rette parallele $AE$ e $DB$ tagliate dalla trasversale $AD$.
Essendo gli angoli $\hat{VAE}$ e $\hat{VAE}$ congruenti (angoli alla base di un triangolo isoscele), allora anche $\hat{VDB}$ e $\hat{VBD}$ sono congruenti.
Pertanto il triangolo piccolo è isoscele e perciò segue la tesi.
Questo è più o meno quello che hai detto tu prima (o almeno quello che ho capito).
Il problema è ora che dobbiamo ancora dimostrare che le corde $AE$ e $DB$ sono parallele. Questo non lo abbiamo ancora dimostrato.
Hai in mente qualcosa per dimostrarlo?
Per adesso altre strade non me ne vengono in mente.
Certo ragionando per assurdo o con il 5° postulato di Euclide(anche se in questo caso comunque si ragiona per assurdo) e quindi avendo queste due rette $DB$ e $AE$ e la perpendicolare a loro ovvero $VH$ (altezza del triangolo),supponiamo che $DB$ e $AE$ non siano parallele tra loro e che quindi si incontrino in un punto $P$.Ci troviamo in questo modo ad avere due rette uscenti dallo stesso punto $P$ e che sono entrambi perpendicolari alla retta $VH$,ma per l'unicita della perpendicolare questo è assurdo e dobbiamo concludere che le rette $DB$ e $AE$ sono necessariamente perallele tra loro.Giusto??Grazie mille ancora
Oppure molto più banalmente: in ogni circonferenza l'asse di una corda passa per il centro della circonferenza ed in ogni triangolo isoscele il vertice sta sull'asse della base, dunque, come già si è detto, il centro della circonferenza è allineato al vertice del triangolo isoscele [tex]AEV[/tex] ed al punto medio della sua base. Poiché l'altezza relativa alla base di un triangolo isoscele è il suo asse di simmetria, il centro della circonferenza, che appartiene a detto asse, è equidistante dai lati del triangolo e, quindi, è equidistante dalle corde [tex]AD[/tex] e [tex]BE[/tex]. Corde che hanno la stessa distanza dal centro di una circonferenza sono congruenti, ergo [tex]AD \cong BE[/tex].
ritengo che la dimostrazione possa essere molto più semplice
considera i triangoli$ABE ,ADE$ ; essi sono congruenti per il II principio di congruenza generalizzato in quanto hanno :
- AE in comune
-$DhatAE=BhatEA$ perchè angoli alla base di un triangolo isoscele
-$AhatDE=AhatBE$ in quanto angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco
dunque $BE=AD$ in quanto lati corrispondenti in triangoli congruenti
a questo punto $VB=VD$ perchè differenze di segmenti congruenti
P.S. non avevo visto l'ultima dimostrazione, che mi sembra anch'essa abbastanza semplice
considera i triangoli$ABE ,ADE$ ; essi sono congruenti per il II principio di congruenza generalizzato in quanto hanno :
- AE in comune
-$DhatAE=BhatEA$ perchè angoli alla base di un triangolo isoscele
-$AhatDE=AhatBE$ in quanto angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco
dunque $BE=AD$ in quanto lati corrispondenti in triangoli congruenti
a questo punto $VB=VD$ perchè differenze di segmenti congruenti
P.S. non avevo visto l'ultima dimostrazione, che mi sembra anch'essa abbastanza semplice
E questo dimostra che sono scarsissimo a risolvere questi problemini 
Grazie per l'aiuto. Mi scuso con Arkimonde se ha perso tempo.
Si può seguire uno dei ragionamenti postati da Wizard e Nicole93 e concludere moooolto più velocemente.
Grazie per l'aiuto. Mi scuso con Arkimonde se ha perso tempo.
Si può seguire uno dei ragionamenti postati da Wizard e Nicole93 e concludere moooolto più velocemente.
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