Problema di Minimo, data l'eq. di una curva
Salve a tutti, mi si presenta questo problema:
E' data la curva di equazione y=1/4 x^2 - 2x + 6. Determinare qual'è il punto della curva per cui è minima la somma dell'ascissa con l'ordinata. Verificare che tale punto è il punto in cui la curva ha per tangente una retta parallela alla retta y=-x
Allora, ho dato per scontato che si trattasse di una parabola, quindi ho trovato il vertice V( 4; -2) e successivamente ho cercato di trovare le intersezioni con gli assi.. Dico "cercato" perchè con l'asse y trovo il punto A (0; 6) ma quando devo trovare le intersezioni con l'asse x il delta viene <0 quindi nessuna X. Ora, dal momento che il vertice si trova nel 3° quadrante, e il punto di intersezione con l'asse y nel 1° quadrante, come può NON intersecare l'asse x ? L'ho mandato a quel paese e ho continuato senza figura.
Ho impostato un punto C di coordinate C (x; f(x) ), dove f(x) è l'eq della curva (ho preso questo metodo da un problema molto simile che ho fatto tempo fa ma non ho mai capito perchè questo punto ha queste coordinate, se qualcuno me lo spiega mi farebbe un grosso favore), e ho sommato ascissa e ordinata, trovandomi l'eq di cui dovrò trovarmi il min.
La funzione mi viene: 1/4x^2 - x + 6.
Trovo la derivata che è: f'(x)= 1/2x -1 e trovo il punto stazionario (probabile punto di minimo) che è x=2. Sostituisco nella funzione di partenza e trovo che il punto C ha coordinate (2;3), ed è giusto.
Ora devo trovare la retta tangente alla curva in quel punto, ma non ha senso perchè essendo 2 punto di minimo, la derivata in quel punto (ovviamente) vale zero! (avvalendomi del significato geometrico di derivata in un punto generico, che in questo caso corrisponde a 2). Quindi non so come verificare la seconda richiesta.. Aiutini ?
E' data la curva di equazione y=1/4 x^2 - 2x + 6. Determinare qual'è il punto della curva per cui è minima la somma dell'ascissa con l'ordinata. Verificare che tale punto è il punto in cui la curva ha per tangente una retta parallela alla retta y=-x
Allora, ho dato per scontato che si trattasse di una parabola, quindi ho trovato il vertice V( 4; -2) e successivamente ho cercato di trovare le intersezioni con gli assi.. Dico "cercato" perchè con l'asse y trovo il punto A (0; 6) ma quando devo trovare le intersezioni con l'asse x il delta viene <0 quindi nessuna X. Ora, dal momento che il vertice si trova nel 3° quadrante, e il punto di intersezione con l'asse y nel 1° quadrante, come può NON intersecare l'asse x ? L'ho mandato a quel paese e ho continuato senza figura.
Ho impostato un punto C di coordinate C (x; f(x) ), dove f(x) è l'eq della curva (ho preso questo metodo da un problema molto simile che ho fatto tempo fa ma non ho mai capito perchè questo punto ha queste coordinate, se qualcuno me lo spiega mi farebbe un grosso favore), e ho sommato ascissa e ordinata, trovandomi l'eq di cui dovrò trovarmi il min.
La funzione mi viene: 1/4x^2 - x + 6.
Trovo la derivata che è: f'(x)= 1/2x -1 e trovo il punto stazionario (probabile punto di minimo) che è x=2. Sostituisco nella funzione di partenza e trovo che il punto C ha coordinate (2;3), ed è giusto.
Ora devo trovare la retta tangente alla curva in quel punto, ma non ha senso perchè essendo 2 punto di minimo, la derivata in quel punto (ovviamente) vale zero! (avvalendomi del significato geometrico di derivata in un punto generico, che in questo caso corrisponde a 2). Quindi non so come verificare la seconda richiesta.. Aiutini ?
Risposte
x=2 è punto di minimo per la funzione g(x)= 1/4x^2-x+6,non per la funzione f(x)=1/4x^2-2x+6
f'(x)=1/2x-2
f'(2)=-1
da cui la tesi
f'(x)=1/2x-2
f'(2)=-1
da cui la tesi
"raf85":
x=2 è punto di minimo per la funzione g(x)= 1/4x^2-x+6,non per la funzione f(x)=1/4x^2-2x+6
f'(x)=1/2x-2
f'(2)=-1
da cui la tesi
Hai troppa ragione, sono un cretino ho considerato la funzione sbagliataaaa!
Grazie mille
"raf85":
x=2 è punto di minimo per la funzione g(x)= 1/4x^2-x+6,non per la funzione f(x)=1/4x^2-2x+6
f'(x)=1/2x-2
f'(2)=-1
da cui la tesi
scusami ma f(2) non viene -1!!
ma infatti è f ' (2)=-1
per il significato geometrico della derivata è la derivata della f(x) che deve valere -1 per x=2 per avere la tesi
forse non si leggeva bene l'apice........
per il significato geometrico della derivata è la derivata della f(x) che deve valere -1 per x=2 per avere la tesi
forse non si leggeva bene l'apice........
"raf85":
ma infatti è f ' (2)=-1
per il significato geometrico della derivata è la derivata della f(x) che deve valere -1 per x=2 per avere la tesi
forse non si leggeva bene l'apice........
a me la derivata viene diversa, perchè viene 1/2x - 1
quindi f ' (2)= 0.
Ed essendo 2 punto stazionario deve per forza venire zero, no ? Come fa a venire -1 ?
hai confuso di nuovo le funzioni
f '(x)=1/2x-2
quindi
f '(2)=1/2*2-2=1-2=-1
f '(x)=1/2x-2
quindi
f '(2)=1/2*2-2=1-2=-1
Per la figura: il vertice è $V(4,2)$ e quindi non ci sono contraddizioni.
Quando i tuoi calcoli portano a risultati contraddittori c'è un modo semplicissimo ed è dare ad $x$ alcuni valori e calcolare le corrispondenti $y$: guardando i punti ottenuti, scopri subito cosa hai sbagliato. Inoltre hai il vantaggio di poter disegnare la curva in modo più accurato.
Metti il segno del dollaro all'inizio ed alla fine delle formule, in modo che vengano ben scritte.
Quando i tuoi calcoli portano a risultati contraddittori c'è un modo semplicissimo ed è dare ad $x$ alcuni valori e calcolare le corrispondenti $y$: guardando i punti ottenuti, scopri subito cosa hai sbagliato. Inoltre hai il vantaggio di poter disegnare la curva in modo più accurato.
Metti il segno del dollaro all'inizio ed alla fine delle formule, in modo che vengano ben scritte.
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