Problema di minimo
E' stato assegnato il seguente problema. Considera i triangoli rettangoli in cui l'altezza relativa all'ipotenusa li divida in 2 triangoli tali che uno di essi ha area costante. Trova l'ipotenusa minima. Suggerisce di indicare con $x$ l'ipotenusa con $\varphi$ uno degli angoli acuti e con $k^2$ l'area costante. La mia difficoltà è che, a parte la poca chiarezza del testo, mi trovo a risolvere un problema di minimo con 2 variabili $x$ e $\varphi$. Usando le note formule di trigonometria sono arrivato a esprimere $x$ in funzione di $\varphi$ ma poi la derivata mi porta a dei calcoli pazzeschi, mentre credo ci sia una via semplice per attingere il risultato che, secondo il testo è $\varphi =pi/6$. Qualcuno ha un suggerimento risolutore ? grazie a chi vorrà contribuire al progresso del sottoscritto.
Risposte
Prova a scrivere la funzione che hai impostato...
Se indichiamo con BC l'ipotenusa e con AH l'altezza ad essa relativa,ponendo \(\displaystyle BH=x \), si ha :
\(\displaystyle AH=\frac{2k^2}{BH}=\frac{2k^2}{x} \)
Inoltre:
\(\displaystyle BH\cdot HC=AH^2 \) da cui \(\displaystyle HC=\frac{AH^2}{BH} =\frac{4k^4}{x^3}\)
Pertanto risulta:
\(\displaystyle BC=BH+HC=f(x)=x+\frac{4k^4}{x^3} \)
Questa funzione ha il suo minimo per \(\displaystyle x=\sqrt{2k^2\sqrt3} \)
Per interpretare questo risultato proviamo a calcolare \(\displaystyle \tan \phi \),dove \(\displaystyle \phi = \widehat{ABC}=\widehat{ABH}\)
Risulta :
\(\displaystyle \tan\phi= \frac{AH}{BH} = \frac{2k^2}{x}\cdot \frac{1}{x}=\frac{2k^2}{x^2}\)
Sostituendo il valore di x trovato abbiamo:
\(\displaystyle \tan\phi= \frac{2k^2}{2k^2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3} \) da cui \(\displaystyle \phi= \frac{\pi}{6} \)
C.V.D.
\(\displaystyle AH=\frac{2k^2}{BH}=\frac{2k^2}{x} \)
Inoltre:
\(\displaystyle BH\cdot HC=AH^2 \) da cui \(\displaystyle HC=\frac{AH^2}{BH} =\frac{4k^4}{x^3}\)
Pertanto risulta:
\(\displaystyle BC=BH+HC=f(x)=x+\frac{4k^4}{x^3} \)
Questa funzione ha il suo minimo per \(\displaystyle x=\sqrt{2k^2\sqrt3} \)
Per interpretare questo risultato proviamo a calcolare \(\displaystyle \tan \phi \),dove \(\displaystyle \phi = \widehat{ABC}=\widehat{ABH}\)
Risulta :
\(\displaystyle \tan\phi= \frac{AH}{BH} = \frac{2k^2}{x}\cdot \frac{1}{x}=\frac{2k^2}{x^2}\)
Sostituendo il valore di x trovato abbiamo:
\(\displaystyle \tan\phi= \frac{2k^2}{2k^2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3} \) da cui \(\displaystyle \phi= \frac{\pi}{6} \)
C.V.D.
Non è un problema in 2 variabili: per come viene suggerito, l'angolo [tex]\varphi[/tex] è la variabile e l'ipotenusa [tex]x(\varphi )[/tex] la funzione da rendere minima. A me (ponendo [tex]x[/tex] l'ipotenusa e [tex]\varphi[/tex] l'angolo acuto del triangolo non condiviso con quello di area costante)
risulta: [tex]x(\varphi )=\frac{2k^{2}}{\cos\varphi \sin^{3}\varphi }[/tex], che si può minimizzare facilmente cercando il massimo del denominatore.
Resta valida in ogni caso la soluzione proposta da vittorino70, la mia vuole essere soltanto un'alternativa.
risulta: [tex]x(\varphi )=\frac{2k^{2}}{\cos\varphi \sin^{3}\varphi }[/tex], che si può minimizzare facilmente cercando il massimo del denominatore.
Resta valida in ogni caso la soluzione proposta da vittorino70, la mia vuole essere soltanto un'alternativa.
Anch'io ero arrivato alla funzione di Palliit, salvo che al primo membro ho $x^2$, per cui:
$x=sqrt(2k^2/(sin^3(\varphi)cos(\varphi)))$
A quel punto m'ero fatto sopraffare dalla pigrizia (odio i calcoli), mentre usando i vs suggerimenti ho verificato che non c'era troppo da lavorare.
Grazie e buona notte a tutti.
$x=sqrt(2k^2/(sin^3(\varphi)cos(\varphi)))$
A quel punto m'ero fatto sopraffare dalla pigrizia (odio i calcoli), mentre usando i vs suggerimenti ho verificato che non c'era troppo da lavorare.
Grazie e buona notte a tutti.
"gabriello47":
al primo membro ho $x^2$
E hai ragione, che erroraccio il mio, anche dimensionalmente è un orrore... Cerco di riscattarmi: la radice è una funzione strettamente crescente, quindi cercare gli estremi di una radice equivale a cercare quelli del radicando ; detto diversamente, il minimo di una lunghezza corrisponde al minimo del quadrato costruito sulla lunghezza, quindi ci si può limitare a studiare la funzione che ti ho proposto (considerandola comunque come [tex]x^{2}[/tex] e non come [tex]x[/tex])
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