Problema di maturità scientifica.(Terzo liceo scientifico)
Sia data la circonferenza C di centro l'origine e raggio 1.Si determinino le equazioni delle circonferenze C1 e C2 appartenenti al primo quadrante ,tangenti ad entrambi gli assi coordinati e alla circonferenza C ,e rispettivamente interna ed esterna a C . Le circonferenze C1 e C2 e gli assi coordinati determinano tre regioni finite appartenenti al primo quadrante ed esterne a C1 e C2.Si calcoli l'area complessiva delle tre regioni .
SVOLGIMENTO:
dopo aver tentato numerose volte giungo a questa conclusione.
Sposto l'attenzione sulla circonferenza C1:
Detto P1 il punto di tangenza con l'asse X e P2 il punto di tangenza con l'asse Y considero il quadrilatero OP1O1P2 (con O1 ho indicato il centro di C1).Si tratta di un quadrato e la diagonale OO1 appartiene alla bisettrice del primo e terzo quadrante ,inoltre noto che il segmento che unisce i centri delle due circonferenze appartiene anch'esso alla bisettrice del primo e terzo quadrante quindi:
1)calcolo l'intersezione della retta y=x con la circonferenza di raggio unitario.
2)Considero i valori della x e y positivi poichè le circonferenze si trovano nel primo quadrante.
3)calcolo l'intersezione della circonferenza C con C1
4)considero le soluzioni che hanno la x e la y positiva.
5)impongo che il punto di tangenza delle circonferenze C e C1 sia pari a
$ X=sqrt(2)/2 $
e
$ Y=sqrt(2)/2 $
in questo modo ottengo due condizioni per trovarmi i coefficienti a e b.Adesso mi manca la terza condizione per trovarmi c.
6)Per la terza condizione impongo:
$ bar(OO1)^2=bar(OP1)^2+bar(O1P1)^2 $
in questo modo dovrei trovarmi i coefficienti a,b,c delle due circonferenze solo che i calcoli sono lunghi...Dove sbaglio? Qualche idea migliore?
SVOLGIMENTO:
dopo aver tentato numerose volte giungo a questa conclusione.
Sposto l'attenzione sulla circonferenza C1:
Detto P1 il punto di tangenza con l'asse X e P2 il punto di tangenza con l'asse Y considero il quadrilatero OP1O1P2 (con O1 ho indicato il centro di C1).Si tratta di un quadrato e la diagonale OO1 appartiene alla bisettrice del primo e terzo quadrante ,inoltre noto che il segmento che unisce i centri delle due circonferenze appartiene anch'esso alla bisettrice del primo e terzo quadrante quindi:
1)calcolo l'intersezione della retta y=x con la circonferenza di raggio unitario.
2)Considero i valori della x e y positivi poichè le circonferenze si trovano nel primo quadrante.
3)calcolo l'intersezione della circonferenza C con C1
4)considero le soluzioni che hanno la x e la y positiva.
5)impongo che il punto di tangenza delle circonferenze C e C1 sia pari a
$ X=sqrt(2)/2 $
e
$ Y=sqrt(2)/2 $
in questo modo ottengo due condizioni per trovarmi i coefficienti a e b.Adesso mi manca la terza condizione per trovarmi c.
6)Per la terza condizione impongo:
$ bar(OO1)^2=bar(OP1)^2+bar(O1P1)^2 $
in questo modo dovrei trovarmi i coefficienti a,b,c delle due circonferenze solo che i calcoli sono lunghi...Dove sbaglio? Qualche idea migliore?
Risposte
Siano \(\displaystyle T \) il punto di tangenza, \(\displaystyle C' \) il centro della circonferenza interna ed \(\displaystyle r' \) il suo raggio. Per la tangenza agli assi e l'appartenenza al primo quadrante le coordinate di \(\displaystyle C' \) sono \(\displaystyle (r', r') \). Si ha \(\displaystyle OC'=OT-C'T=1-r' \); ma \(\displaystyle OC' \) è la diagonale di un quadrato quindi $OC'=r' sqrt 2$, perciò $1-r'=r' sqrt 2$ e calcoli il raggio. Ragionamento analogo per l'altra circonferenza.
Quella di porre il raggio pari a x e y non mi è proprio venuta in mente...Quindi tu hai posto uguale a x e y i due segmenti perpendicolari agli assi coordinati...che infatti sono il raggio...
Adesso sto cercando di tracciare bene i disegni delle tre circonferenze se no non posso risolvere l'ultima parte del problema...Grazie ancora!
Adesso sto cercando di tracciare bene i disegni delle tre circonferenze se no non posso risolvere l'ultima parte del problema...Grazie ancora!
Ma cosa intende lui per le tre regioni finite?
Se le tre regioni appartengono al primo quadrante e sono esterne a C1 e C2 e sono comprese tra gli assi coordinati...allora le prime due sono d'accordo che sono comprese tra C1,C2 e assi coordinati ma la terza dovrebbe estendersi all'infinito visto che il primo quadrante è infinito...
Se le tre regioni appartengono al primo quadrante e sono esterne a C1 e C2 e sono comprese tra gli assi coordinati...allora le prime due sono d'accordo che sono comprese tra C1,C2 e assi coordinati ma la terza dovrebbe estendersi all'infinito visto che il primo quadrante è infinito...
Hai visto le due zone finite, uguali fra loro, comprese fra $C_1$ e $C_2$; la terza è compresa fra gli assi e $C_1$.
Ti ricordo l'obbligo di usare il compilatore matematico: non si scrive C1 ma $C_1$ (digitato C_1)
Ti ricordo l'obbligo di usare il compilatore matematico: non si scrive C1 ma $C_1$ (digitato C_1)
A ho capito.Adesso va bene.
Scusa ma non sapevo come digitare gli indici.Ti ringrazio!!
Scusa ma non sapevo come digitare gli indici.Ti ringrazio!!
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