Problema di matematica sull'ellisse e sugli angoli

[francodeangelis]

E' data un'ellisse di equazione x^2/2+y^2/8=1. Sia A il punto in cui l'ellisse interseca il semiasse positivo delle x e Q il punto appartenente all'ellisse di ascissa 1 e ordinata positiva. Determina sull'ellisse il punto P tale che POA=2QOA, essendo O l'origine degli assi.

[mc2]

Facendo i calcoli trovi

Q(1,2), A(sqrt(2),0)


Retta OQ: y=2x

Posto

[math]Q\hat{O}A=\alpha[/math]

si ha

[math]\tan\alpha=2[/math]

Si usano le formule di trigonometria:

[math]\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{5}}[/math]

,

[math]\sin\alpha=\cos\alpha \cdot \tan\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}[/math]

,

[math]\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{4}{5}[/math]

,

[math]\cos 2\alpha=cos^2\alpha-\sin^2\alpha=...[/math]

,

[math]\tan 2\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2 \alpha}=...[/math]

Il punto P si ottiene intersecando l'ellisse con la retta

[math]y=x\tan 2\alpha[/math]