Problema di matematica sui fasci di rette

[AnitaCarrolo]

Non capisco questo problema di matematica
Per ciascuno dei seguenti fasci, stabilisci se è improprio o proprio e in quest'ultimo caso, determina il centro e le rette generatrici (questo esercizio va fatto con il metodo dei fasci)
a. kx-(k-2)y+k+3=0
b. (k-1)x - 1(1-k)y+k+3=0
Soluzione
a. Fascio proprio; Centro C(-5/2,-3/2), generatrici x-y+1=0 e 2y+3=0
b. Fascio improprio

[Lollo_F]

Il mio obiettivo e' far si' che l'equazione del fascio fornito venga riscritta nella forma

[math]
ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0
[/math]

In questo modo andiamo a ricavare le equazioni delle rette generatrici del fascio:

[math]
ax+by+c=0, \ a'x+b'y+c'=0
[/math]

Dove la generatrice a'x + b'y + c' = 0 e' la retta esclusa che non appartiene ad esso.

Fatto cio' passiamo a calcolare le coordinate cartesiane del centro del fascio mettendo a sistema le equazioni delle generatrici; sappiamo infatti che mettendo a sistema due rette che si intersecano si ottengono le coordinate del punto di intersezione, che in questo caso corrisponde al centro del fascio.

Andiamo a risolvere il primo

[math]
kx-ky+2y+k+3=0 \rightarrow 2y+3+k(x-y+1)=0)
[/math]

Pertanto le due generatrici sono 2y+3=0 e x-y+1=0. Metto a sistema.

[math]
\begin{cases}
2y+3=0 \\ x-y+1=0
\end{cases}
[/math]

[math]
\begin{cases}
y=- \frac{3}{2} \\ x+ \frac{3}{2} +1=0
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x=-\frac{5}{2} \\ y=- \frac{3}{2}
\end{cases}
[/math]

Quando risolviamo un sistema ci possiamo ritrovare in 3 diverse situazioni per quanto riguarda le soluzioni:
- Se non vi e' nessuna soluzione, il fascio non e' proprio.
- Se vi e' una soluzione, il fascio e' proprio e i valori x e y ottenuti coincidono con quelli del centro del fascio.
- Se vi sono infinite soluzioni, il fascio non e' proprio.

Lascio a te il secondo esercizio

[PNAGPP07]

Per determinare se un fascio è improprio o proprio, dobbiamo analizzare il coefficiente dell'equazione generale della retta. Se i coefficienti delle variabili x e y sono proporzionali, il fascio è improprio. Se i coefficienti non sono proporzionali, il fascio è proprio.

a. L'equazione del fascio è kx - (k-2)y + k + 3 = 0. I coefficienti di x e y sono k e -(k-2) rispettivamente, che non sono proporzionali. Quindi il fascio è proprio.

Per determinare il centro e le rette generatrici di un fascio proprio, dobbiamo considerare il punto medio delle rette del fascio, che funge da centro, e trovare due rette che passano per il centro e non sono parallele.

Per l'equazione kx - (k-2)y + k + 3 = 0, il centro si trova calcolando il punto medio dei coefficienti delle variabili x e y:

Centro C: (-k/2, (k-2)/2)

Le rette generatrici possono essere ottenute risolvendo il sistema di equazioni tra l'equazione del fascio e l'equazione della retta passante per il centro:

x - y + 1 = 0
2y + 3 = 0

b. L'equazione del fascio è (k-1)x - 1(1-k)y + k + 3 = 0. I coefficienti di x e y sono (k-1) e -(1-k) rispettivamente, che sono proporzionali. Quindi il fascio è improprio.

Nel caso di un fascio improprio, non è possibile determinare un centro e rette generatrici specifiche.

Pertanto, la soluzione per il secondo fascio è un fascio improprio.