Problema di matematica finanziaria
Ciao!
Vi chiedo un consiglio sul seguente problema:
Un'industria produce due modelli \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) di mezzi, con le seguenti condizioni:
\(\displaystyle 4 \leq x \leq 30 \)
\(\displaystyle 3 \leq y \leq 40 \)
\(\displaystyle 2x + 3y \leq 165 \)
Il ricavo di x è 46500 euro (l'uno),
Il ricavo di y è 69750 euro (l'uno),
si chiede di trovare \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) tali da massimizzare il ricavo.
____________________________
Ho scritto le funzioni ricavo x e y:
\(\displaystyle R_x = p_x x \) (e analogamente per y, dove p è il prezzo)
ho trovato il massimo e minimo di x e y dalle diseguaglianze;
ho derivato R prima rispetto a x e poi a y, posto \(\displaystyle R_{x,y} > 0 \)
ho individuato il massimo restringendo il campo grazie alle diseguaglianze.
Per cui mi risulta x = 22 e y = 35
Potete dirmi se è corretto?
Grazie in anticipo
Vi chiedo un consiglio sul seguente problema:
Un'industria produce due modelli \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) di mezzi, con le seguenti condizioni:
\(\displaystyle 4 \leq x \leq 30 \)
\(\displaystyle 3 \leq y \leq 40 \)
\(\displaystyle 2x + 3y \leq 165 \)
Il ricavo di x è 46500 euro (l'uno),
Il ricavo di y è 69750 euro (l'uno),
si chiede di trovare \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) tali da massimizzare il ricavo.
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Ho scritto le funzioni ricavo x e y:
\(\displaystyle R_x = p_x x \) (e analogamente per y, dove p è il prezzo)
ho trovato il massimo e minimo di x e y dalle diseguaglianze;
ho derivato R prima rispetto a x e poi a y, posto \(\displaystyle R_{x,y} > 0 \)
ho individuato il massimo restringendo il campo grazie alle diseguaglianze.
Per cui mi risulta x = 22 e y = 35
Potete dirmi se è corretto?
Grazie in anticipo
Risposte
É un problema di programmazione lineare, non si risolve con le derivate, basta individuare il dominio piano con le disequazioni e per trovare il massimo della funzione ricavo $f(x,y)=x*p_x+y*p_y$ devi rappresentare il fascio di rette $x*p_x+y*p_y=k$ e determinare in quali punti del dominio k assume valore massimo.
devi rappresentare il fascio di rette x⋅px+y⋅py=k e determinare in quali punti del dominio k assume valore massimo
cioè ???
Una volta disegnato il dominio piano trovi le coordinate dei vertici e fai passare la retta del fascio per i vertici, individuando quale punto genera il valore massimo di k e di conseguenza quali sono i valori di $x$ e $y$ che massimizzano la funzione. Questo problema, però, è un caso particolare in quanto il fascio di rette è parallelo ad uno dei lati del dominio, quindi la soluzione è data da tutti i punti a coordinate intere appartenenti al lato che massimizza la funzione.
Questo è un problema di matematica finanziaria di igea, i domini piani sono sconosciuti!
Il problema ha per soluzione due numeri precisi, uno attribuito ad x ed uno ad y.
Il problema ha per soluzione due numeri precisi, uno attribuito ad x ed uno ad y.
Il domini piano sono assolutamente conosciuti, magari li chiama in un altro modo, ma li conosce di sicuro, sono le soluzioni delle disequazioni in due variabili rappresentate nel piano cartesiano.
Di solito hai ragione e la soluzione è un punto del piano, con coordinate ben precise una paer la x e una per la y, ma questa volta no perché la funzione ricavo è parallela ad una delle condizioni .
$R_(x,y) =23250(2x+3y)$ è parallela alla terza condizione. Le soluzioni sono quindi tutte le coppie a coordinate intere che si trovano nel lato del dominio piano compreso tra i due vertici $(30, 35)$ e $(45/2, 40)$.
Per la precisione le soluzioni sono $(30, 35); (27, 37); (24, 39)$, tutte queste danno come ricavo $R=23250*165= 3836250$
Di solito hai ragione e la soluzione è un punto del piano, con coordinate ben precise una paer la x e una per la y, ma questa volta no perché la funzione ricavo è parallela ad una delle condizioni .
$R_(x,y) =23250(2x+3y)$ è parallela alla terza condizione. Le soluzioni sono quindi tutte le coppie a coordinate intere che si trovano nel lato del dominio piano compreso tra i due vertici $(30, 35)$ e $(45/2, 40)$.
Per la precisione le soluzioni sono $(30, 35); (27, 37); (24, 39)$, tutte queste danno come ricavo $R=23250*165= 3836250$
Non li hanno fatti ... mi spiace.
Potrei proporre la soluzione in questo modo, graficamente (che peraltro alla fine dovrebbe essere poco distante da quello che suggerisci):
le soluzioni allora sono quelle comprese nel poligono di colore marrone (con x e y interi) e di valore massimo:
Ok!
Grazie
Potrei proporre la soluzione in questo modo, graficamente (che peraltro alla fine dovrebbe essere poco distante da quello che suggerisci):
le soluzioni allora sono quelle comprese nel poligono di colore marrone (con x e y interi) e di valore massimo:
Ok!
Grazie
Se ho capito bene $f(x,y)=x⋅px+y⋅py$ è la funzione da massimizzare. Si tratta di una ricerca di massimi e minimi di una funzione a due variabili (quindi con grafico tridimensionale), vincolati dalle disequazioni riportate nel primo post.
Quello che @melia ti sta suggerendo (se non sbaglio) di fare è di usare un metodo detto "delle curve di livello" ponendo $z=k$ e trovando che effettivamente i massimi sono sulla retta della terza condizione (in corrispondenza del massimo valore di $k$ che non ti faccia uscire dal dominio piano individuato dalle disequazioni).
Un'altra possibilità è che abbiamo interpretato male la funzione da massimizzare.
Quello che @melia ti sta suggerendo (se non sbaglio) di fare è di usare un metodo detto "delle curve di livello" ponendo $z=k$ e trovando che effettivamente i massimi sono sulla retta della terza condizione (in corrispondenza del massimo valore di $k$ che non ti faccia uscire dal dominio piano individuato dalle disequazioni).
Un'altra possibilità è che abbiamo interpretato male la funzione da massimizzare.
Quel poligono marrone che hai disegnato si chiama anche dominio piano. Ti avevo detto che intendevamo la stessa cosa, chiamandola in modo diverso.
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