Problema di matematica con le equazioni
In un rettangolo, un lato è la metà dell'altro. Diminuendo di 1cm le lunghezze di tutti i lati del rettangolo, l'area diminuisce di 8cm². Quanto sono lunghi i lati del rettangolo? [6cm; 3cm]
In un trapezio rettangolo ABCD, la base maggiore AB è lunga 6cm e l'altezza è congruente alla base minore. Determina le lunghezze dei lati del trapezio sapendo che la retta per D parallela al lato obliquo BC divide il trapezio in due parti equivalenti. [2cm; 6cm; 2cm; radice di 20]
Mi potete risolvere questi due problemi con le equazioni? SONO EQUAZIONI AD UNA INCOGNITA!
Grazie :)
In un trapezio rettangolo ABCD, la base maggiore AB è lunga 6cm e l'altezza è congruente alla base minore. Determina le lunghezze dei lati del trapezio sapendo che la retta per D parallela al lato obliquo BC divide il trapezio in due parti equivalenti. [2cm; 6cm; 2cm; radice di 20]
Mi potete risolvere questi due problemi con le equazioni? SONO EQUAZIONI AD UNA INCOGNITA!
Grazie :)
Risposte
1)
Impostiamo le equazioni con i dati del problema:
a) x = y/2 oppure 2x = y
b) (x-1)(y-1) = xy - 8
Semplifichiamo l'espressione b):
xy - x - y + 1 = xy - 8
-x - y = - 9
moltiplichiamo tutti i membri per -1
x + y = 9
sostituiamo l'espressione a) nel valore di y:
x + 2x = 9
3x = 9
x = 3 cm
e dall'espressione a)
y = 2x = 6 cm
... questo è il primo, a brve il secondo
Impostiamo le equazioni con i dati del problema:
a) x = y/2 oppure 2x = y
b) (x-1)(y-1) = xy - 8
Semplifichiamo l'espressione b):
xy - x - y + 1 = xy - 8
-x - y = - 9
moltiplichiamo tutti i membri per -1
x + y = 9
sostituiamo l'espressione a) nel valore di y:
x + 2x = 9
3x = 9
x = 3 cm
e dall'espressione a)
y = 2x = 6 cm
... questo è il primo, a brve il secondo
E' un problema ad un incognita, perchè c'è la y ?
No, è un problema a due incognite perchè sono due i lati che non conosci e devi trovare:
x per il lato corto (visto il risultato) e y per il lato lungo del rettangolo.
:hi
Massimiliano
x per il lato corto (visto il risultato) e y per il lato lungo del rettangolo.
:hi
Massimiliano
La nostra professoressa ci ha dato esercizi SOLO ad una incognita!
Questa è bella... come fa a dire ad una incognita se devo trovare due lati diversi di un rettangolo (fosse un quadrato...)...
... :con :con ci devo ragionare un po' su...
Aggiunto 5 minuti più tardi:
1)
Potrei scrivertelo anche così, ma è una forzatura inutile....
Sia ABCD il nostro rettangolo, pongo AB = x
Impostiamo le equazioni con i dati del problema:
a) x = BC/2 oppure 2x = BC
b) (x-1)(BC-1) = x*BC - 8
Semplifichiamo l'espressione b):
x*BC - x - BC + 1 = x*BC - 8
-x - BC = - 9
moltiplichiamo tutti i membri per -1
x + BC = 9
sostituiamo l'espressione a) nel valore di BC:
x + 2x = 9
3x = 9
x = 3 cm
e dall'espressione a)
BC = 2x = 6 cm
... c'è "falsamente" una sola incognita, la x, in realtà sono sempre due perchè anche il lato BC, per noi è, fino alla fine del problema, una incognita.
:hi
Massimiliano
Aggiunto 19 minuti più tardi:
2)
Chiamo K il punto in cui la retta tracciata per D incontra la base maggiore, essendo questa retta, per costruzione, parallela al lato obliquo, avremo che BK = CD (distanza di rette parallele).
Quindi possiamo scrivere la seguente equazione con i dati del problema:
Sp = superficie parallelogramma KBCD
St = Superficie triangolo AKD
x = CD = AD
Sp = CD*AD = x*x = x^2
St = AK*AD/2
ma AK = AB - CD = 6 - x, per cui
St = (6 - x)*x/2
St = Sp
(6 - x)*x/2 = x^2
moltiplico entrambi i membri per 2
(6 - x)*x = 2x^2
6x - x^2 = 2x^2
3x^2 - 6x = 0
raccolgo 3x
3x*(x - 2) = 0
x = 0 e x = 2, ma x = 0 è una soluzione non valida per il nostro problema quindi:
x = CD = AD = 2 cm
Applicando il t. di pitagora trovo il lato obliquo:
BC = sqr ((AB - CD)^2 + AD^2) =
= sqr ((6 - x)^2 + x^2) =
= sqr ((6 - 2)^2 + 2^2) = sqr (4^2 + 4) = sqr (20) cm
Ecco fatto...
... anche questo è un falso problema ad una incognita perchè anche in questo caso i lati che non conosciamo sono due (base minore e altezza contano come uno perchè hanno le stesse dimensioni).
:hi
Massimiliano
... :con :con ci devo ragionare un po' su...
Aggiunto 5 minuti più tardi:
1)
Potrei scrivertelo anche così, ma è una forzatura inutile....
Sia ABCD il nostro rettangolo, pongo AB = x
Impostiamo le equazioni con i dati del problema:
a) x = BC/2 oppure 2x = BC
b) (x-1)(BC-1) = x*BC - 8
Semplifichiamo l'espressione b):
x*BC - x - BC + 1 = x*BC - 8
-x - BC = - 9
moltiplichiamo tutti i membri per -1
x + BC = 9
sostituiamo l'espressione a) nel valore di BC:
x + 2x = 9
3x = 9
x = 3 cm
e dall'espressione a)
BC = 2x = 6 cm
... c'è "falsamente" una sola incognita, la x, in realtà sono sempre due perchè anche il lato BC, per noi è, fino alla fine del problema, una incognita.
:hi
Massimiliano
Aggiunto 19 minuti più tardi:
2)
Chiamo K il punto in cui la retta tracciata per D incontra la base maggiore, essendo questa retta, per costruzione, parallela al lato obliquo, avremo che BK = CD (distanza di rette parallele).
Quindi possiamo scrivere la seguente equazione con i dati del problema:
Sp = superficie parallelogramma KBCD
St = Superficie triangolo AKD
x = CD = AD
Sp = CD*AD = x*x = x^2
St = AK*AD/2
ma AK = AB - CD = 6 - x, per cui
St = (6 - x)*x/2
St = Sp
(6 - x)*x/2 = x^2
moltiplico entrambi i membri per 2
(6 - x)*x = 2x^2
6x - x^2 = 2x^2
3x^2 - 6x = 0
raccolgo 3x
3x*(x - 2) = 0
x = 0 e x = 2, ma x = 0 è una soluzione non valida per il nostro problema quindi:
x = CD = AD = 2 cm
Applicando il t. di pitagora trovo il lato obliquo:
BC = sqr ((AB - CD)^2 + AD^2) =
= sqr ((6 - x)^2 + x^2) =
= sqr ((6 - 2)^2 + 2^2) = sqr (4^2 + 4) = sqr (20) cm
Ecco fatto...
... anche questo è un falso problema ad una incognita perchè anche in questo caso i lati che non conosciamo sono due (base minore e altezza contano come uno perchè hanno le stesse dimensioni).
:hi
Massimiliano
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