Problema di matematica
Considera la funzione f(x) = ax + b/cx2 + 1 con a, b e c numeri reali.
(a) Determina a, b e c in modo che f(x) sia dispari, abbia due punti di flesso in cor-
rispondenza di x = ±1 e tangente in x = 1 con pendenza 1/4
(b) Traccia il grafico probabile di f(x).
(c) Scrivi l’equazione della retta tangente al grafico nel suo punto di ascissa x = 0.
(d) Calcola l’area della porzione di piano compresa fra x = −1, l’asse y e l’asse x.
(a) Determina a, b e c in modo che f(x) sia dispari, abbia due punti di flesso in cor-
rispondenza di x = ±1 e tangente in x = 1 con pendenza 1/4
(b) Traccia il grafico probabile di f(x).
(c) Scrivi l’equazione della retta tangente al grafico nel suo punto di ascissa x = 0.
(d) Calcola l’area della porzione di piano compresa fra x = −1, l’asse y e l’asse x.
Risposte
"eleonora03":
Considera la funzione f(x) = ax + b/cx2 + 1 con a, b e c numeri reali.
Puoi riscrivere la funzione?
È $ax+\frac{b}{c}x^2+1$? O magari $ax+\frac{b}{cx^2}+1$? O altro? Magari $\frac{ax+b}{cx^2+1}$?
"ghira":
Magari $\frac{ax+b}{cx^2+1}$?
Mi "gioco" questa.
Per il resto, come detto anche in quest'altro post
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9#p8550609
puoi iniziare a prendere confidenza con le formule, anche - e soprattutto, potrei dire
- per dare una mano a noi a dare una mano a te.
si, è proprio l'ultima 
Cominciamo, allora, vediamo se riesco a darti una mano, magari ti imposto un piccolo punto dell'esercizio per dare un'idea del ragionamento. Certo, non è detto che sia il ragionamento che ti è stato insegnato, ma non credo ci siano altri modi diversi dal "traduci le condizioni richieste, applicale alla funzione e risolvi".
Abbiamo questa funzione
$f(x) = \frac{ax+b}{cx^2+1} $
consideriamo, per cominciare, il primo punto dell'esercizio.
Ti si chiede di trovare una funzione specifica, ovvero di dare dei valori numerici alle costanti, in base a delle condizioni. Devi dunque esplicitare in modo matematico tutte le condizioni e fare in modo che capitino in contemporanea (probabilmente si tratta di un sistema).
La prima cosa è che $f(x)$ sia dispari, ovvero basta porre $f(-x)=-f(x)$, dunque
$\frac{a(-x)+b}{c(-x)^2+1} = - \frac{ax+b}{cx^2+1}$
pensando che il denominatore non influisce nel segno della funzione e resta sempre uguale ($x^2 = (-x)^2)$, si può semplificare in ambo i membri
$(a(-x)+b) = - (ax+b)$
ovvero
$-ax + b = -ax - b$
da cui $b=0$, e il primo va così, senza ulteriori cose da fare. Non me l'aspettavo così breve (quindi chissà se ho azzeccato i calcoli).
Il primo terzo del primo punto te l'ho risolto direttamente... comunque in generale si tratta di "giocare" su tutte queste condizioni, applicarle alla funzione di partenza in modo tale da determinare dei valori per i coefficienti. Vuoi provare e dirci dove non riesci?
Abbiamo questa funzione
$f(x) = \frac{ax+b}{cx^2+1} $
consideriamo, per cominciare, il primo punto dell'esercizio.
"eleonora03":
(a) Determina a, b e c in modo che f(x) sia dispari, abbia due punti di flesso in corrispondenza di x = ±1 e tangente in x = 1 con pendenza 1/4
Ti si chiede di trovare una funzione specifica, ovvero di dare dei valori numerici alle costanti, in base a delle condizioni. Devi dunque esplicitare in modo matematico tutte le condizioni e fare in modo che capitino in contemporanea (probabilmente si tratta di un sistema).
La prima cosa è che $f(x)$ sia dispari, ovvero basta porre $f(-x)=-f(x)$, dunque
$\frac{a(-x)+b}{c(-x)^2+1} = - \frac{ax+b}{cx^2+1}$
pensando che il denominatore non influisce nel segno della funzione e resta sempre uguale ($x^2 = (-x)^2)$, si può semplificare in ambo i membri
$(a(-x)+b) = - (ax+b)$
ovvero
$-ax + b = -ax - b$
da cui $b=0$, e il primo va così, senza ulteriori cose da fare. Non me l'aspettavo così breve (quindi chissà se ho azzeccato i calcoli).
Il primo terzo del primo punto te l'ho risolto direttamente... comunque in generale si tratta di "giocare" su tutte queste condizioni, applicarle alla funzione di partenza in modo tale da determinare dei valori per i coefficienti. Vuoi provare e dirci dove non riesci?
ma quindi non devo prima soddisfare le richieste e poi determinare le costanti? e dopo aver trovato b cosa devo fare, proseguire con i punti?
per avere punti di flesso si deve annullare la derivata seconda quindi devo calcolarla e porla uguale a 1 e -1 giusto?
per la tangente come devo porlo?
per la pendenza devo calcolare m=$ -a/b$ però devo sapere le costanti
non capisco come mettere tutto insieme
per avere punti di flesso si deve annullare la derivata seconda quindi devo calcolarla e porla uguale a 1 e -1 giusto?
per la tangente come devo porlo?
per la pendenza devo calcolare m=$ -a/b$ però devo sapere le costanti
non capisco come mettere tutto insieme
"eleonora03":
ma quindi non devo prima soddisfare le richieste e poi determinare le costanti?
Sì, infatti ho scritto che non mi aspettavo che questo punto finisse così. In genere si trova una relazione che collega più di un coefficiente, da applicare (a sistema) insieme alle altre. Trovi una condizione e prosegui con gli altri punti.
per avere punti di flesso si deve annullare la derivata seconda quindi devo calcolarla e porla uguale a 1 e -1 giusto?
Porla uguale a zero se va annullata. Svista? Ci stiamo fraintendendo?
per la tangente come devo porlo?
per la pendenza devo calcolare m=$ -a/b$ però devo sapere le costanti
non capisco come mettere tutto insieme
Anche qui, pensa al significato geometrico della derivata (prima) quando si parla di tangente.
"Zero87":
$f(x) = \frac{ax+b}{cx^2+1} $
consideriamo, per cominciare, il primo punto dell'esercizio.
La prima cosa è che $f(x)$ sia dispari, ovvero basta porre $f(-x)=-f(x)$
In questo caso specifico, direi che dobbiamo avere $f(0)=0$ quindi $b=0$.
"ghira":
In questo caso specifico, direi che dobbiamo avere $f(0)=0$ quindi $b=0$.
Giusto, è che inizio a essere un po' arrugginito per le scorciatoie, ma cerco di rimettere in moto il cervello...
@ eleonora03
Vedo che hai difficoltà a scrivere le formule e ti do qualche consiglio in proposito, lasciando ad altri ragionamento e calcoli.
- Metti il segno del dollaro all'inizio ed alla fine delle formule.
- Abbonda in parentesi tonde (anche una nell'altra); in una frazione occorrono per numeratore e denominatore. In qualche caso queste parentesi sono inutili, ad esempio se c'è un solo carattere o si tratta di potenze o radici.
- Prima di inviare, clicca su Anteprima per controllare di aver ottenuto la scritta desiderata.
Due esempi:
- Per ottenere $(ax+b)/(cx^2+1)$ devi digitare, fra segni del dollaro, (ax+b)/(cx^2+1)
- Per ottenere $(1+e^x)/(sqrt(x+1)-3)$ devi digitare, fra segni del dollaro, (1+e^x)/(sqrt(x+1)-3)
Vedo che hai difficoltà a scrivere le formule e ti do qualche consiglio in proposito, lasciando ad altri ragionamento e calcoli.
- Metti il segno del dollaro all'inizio ed alla fine delle formule.
- Abbonda in parentesi tonde (anche una nell'altra); in una frazione occorrono per numeratore e denominatore. In qualche caso queste parentesi sono inutili, ad esempio se c'è un solo carattere o si tratta di potenze o radici.
- Prima di inviare, clicca su Anteprima per controllare di aver ottenuto la scritta desiderata.
Due esempi:
- Per ottenere $(ax+b)/(cx^2+1)$ devi digitare, fra segni del dollaro, (ax+b)/(cx^2+1)
- Per ottenere $(1+e^x)/(sqrt(x+1)-3)$ devi digitare, fra segni del dollaro, (1+e^x)/(sqrt(x+1)-3)
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