Problema di Massimo e Minimo sul trapezio

[gloria991]

Buongiorno, ho iniziato a risolvere il seguente problema:

Data la parabola di equazione $ y = -1/2x^2 + 2x $, sia V il suo vertice. Traccia una retta parallela alla retta $OV$ ($O$ origine degli assi), che intersechi l'arco OV di parabola in due punti $B$ e $C$ (con $x_B$ $>$ $x_C$) in modo che l'area del trapezio OVBC sia massima.

Dunque, ho calcolato

-il vertice $V(2,2)$.
-la retta $OV$, $y=x$;
-la lunghezza di $OV$ $=$ $2$$\root{2}{2}$;
-la retta parallela alla retta $OV$, cioè retta $BC$, $y=x+k$;

ora non so più andare avanti. Mi è venuto in mente di calcolare l'altezza del trapezio come distanza punto-retta (distanza vertice- retta $BC$ ma non so se è la cosa più giusta.
grazie mille

[mgrau]

Potresti proseguire così:
la distanza della retta $y = x + k$ dalla retta OV è $k/sqrt(2)$ (facile da dimostrare)
la distanza dei punti B e C (base minore del trapezio) è data dalla differenza delle loro ascisse moltiplicata per $sqrt(2)$ (facile anche questo)
Poi, visto che conosci già la base maggiore, esprimere l'area in funzione di k dovrebbe essere semplice

[gloria991]

Ciao, allora la distanza del punto $V(2;2)$ dalla retta $y=x+k$ l'ho calcolata con la classica formula distanza punto retta e mi è uscita. Non riesco a capire la distanza dei punti B e C. Ho provato a intersecare la parabola con la retta BC ma escono delle radici e mi sembra strano che sia questa la strada più corretta.
Grazie mille

[gloria991]

Ciao Mgrau...con molta pazienza, tramite l'intersezione, sembra che ce l'ho fatta. Intravedo il risultato del libro ma credo di aver sbagliato qualcosa. E' la strada più veloce questa secondo te?
grazie

[mgrau]

"gloria99":Non riesco a capire la distanza dei punti B e C. Ho provato a intersecare la parabola con la retta BC ma escono delle radici e mi sembra strano che sia questa la strada più corretta.

Le ascisse B' e C' le trovi risolvendo il sistema formato dalla parabola e dalla retta $y = x + k$; siccome la retta è inclinata a 45°, la distanza BC si ottiene come $BC = sqrt(2) B'C' $
A me risulta $B'C' = 2sqrt(1-2k)$
Si vede che k può variare fra 0 e 1/2; quando vale 1/2 la retta risulta tangente alla parabola, B e C coincidono, e il trapezio diventa un triangolo.
Ci sono delle radici, che ci possiamo fare?
L'area del trapezio è allora espressa come:
$S = 1/2(OV + BC)*k/sqrt(2) = 1/2sqrt(2)(2 + B'C')k/sqrt(2) = k/2(2 + B'C') = k(1 + sqrt(1-2k))$
Questa funzione, per k fra 0 e 1/2 mi pare crescente, per cui il massimo sembrerebbe essere appunto il triangolo.
Mi sembra un po' strano... però potrei aver sbagliato qualche conto...

EDIT: sì, infatti mi ero sbagliato, non è crescente. Ha un massimo, per k un po' minore di 1/2

[gloria991]

Ciao, io ho preso la strada più lunga....intersecando parabola con la retta $y=x+k$. Alla fine ce l'ho fatta.
La derivata e il suo studio non sono il massimo della vita ma alla fine ho trovato $k=4/9$.
Grazie per l'aiuto!