Problema di massimo e minimo con le derivate
Buona sera a tutti, volevo chiedervi un’aiuto per la risoluzione di un problema abbastanza complesso:
Considera la parabola $ gamma : (x+2)^2 $ avente vertice $ V (-2 , 0) $ e la sua simmetrica rispetto l’asse y, $ gamma’:y=(2-x)^2 $ avente vertice $ V’ (2,0) $ . Condotta una retta $ y = t $ , che interseca l’arco AV in P e l’arco AV’ in Q, indica con P’ e Q’, rispettivamente, le proiezioni di P e Q sull’asse x. Determina l’equazione della retta in modo che sia massima l’area del rettangolo PQQ’P’.
Prima di tutto ho pensato alle limitazioni geometriche, cioè $ -2<=x_p<=0 $ e $ 0<=x_Q<=2 $ , poi ho provato a mettere a sistema la retta parametrica con la parabola che continente il punto P: $ { (y=t ),( y=x^2+4x+4 ):} $ e, svolgendo l’equazione rispetto ad x, mi veniva $ x =-2 +- sqrt(t) $ , solo che, avendo una variabile t, non so quale delle due equazioni scartare e quindi non sono più riuscito ad andare avanti...mi date una mano? Grazie tante!
Considera la parabola $ gamma : (x+2)^2 $ avente vertice $ V (-2 , 0) $ e la sua simmetrica rispetto l’asse y, $ gamma’:y=(2-x)^2 $ avente vertice $ V’ (2,0) $ . Condotta una retta $ y = t $ , che interseca l’arco AV in P e l’arco AV’ in Q, indica con P’ e Q’, rispettivamente, le proiezioni di P e Q sull’asse x. Determina l’equazione della retta in modo che sia massima l’area del rettangolo PQQ’P’.
Prima di tutto ho pensato alle limitazioni geometriche, cioè $ -2<=x_p<=0 $ e $ 0<=x_Q<=2 $ , poi ho provato a mettere a sistema la retta parametrica con la parabola che continente il punto P: $ { (y=t ),( y=x^2+4x+4 ):} $ e, svolgendo l’equazione rispetto ad x, mi veniva $ x =-2 +- sqrt(t) $ , solo che, avendo una variabile t, non so quale delle due equazioni scartare e quindi non sono più riuscito ad andare avanti...mi date una mano? Grazie tante!
Risposte
Forse mi sono perso un pezzo. Il punto $A$ che cos'è? Perché in base alla definizione del punto $A$ un po' di cose cambiano.
Il punto $A$ vuole essere l'ordinata nell'origine delle due parabole?
In tal caso il tuo procedimento è giusto.
In pratica hai che $t in [0,4]$. Quando risolvi il sistema, ottieni per l'appunto:
$x^2+4x+4-t=0$
$x=-2+-sqrt(t)$
Che è il punto della parabola $\gamma$ ovvero il punto:
$P=(-2+sqrt(t),t)$
L'altra soluzione va scartata in quanto, secondo le condizioni che tu stesso hai posto, l'ascissa di $P$ deve essere compresa nell'intervallo $[-2,0]$ e $-2-sqrt(t)$ è un'ascissa di $-2$ a cui viene sottratta una quantità sempre positiva, quindi appartiene all'intervallo $[-4,-2]$, facendo variare $t$ in $[0,4]$ come detto pocanzi.
Analogo il procedimento per l'altro punto.
Il punto $A$ vuole essere l'ordinata nell'origine delle due parabole?
In tal caso il tuo procedimento è giusto.
In pratica hai che $t in [0,4]$. Quando risolvi il sistema, ottieni per l'appunto:
$x^2+4x+4-t=0$
$x=-2+-sqrt(t)$
Che è il punto della parabola $\gamma$ ovvero il punto:
$P=(-2+sqrt(t),t)$
L'altra soluzione va scartata in quanto, secondo le condizioni che tu stesso hai posto, l'ascissa di $P$ deve essere compresa nell'intervallo $[-2,0]$ e $-2-sqrt(t)$ è un'ascissa di $-2$ a cui viene sottratta una quantità sempre positiva, quindi appartiene all'intervallo $[-4,-2]$, facendo variare $t$ in $[0,4]$ come detto pocanzi.
Analogo il procedimento per l'altro punto.
Deve essere per forza il punto di intersezione …
Si poi ho modificato. Dalle premesse sembrava proprio l'intersezione.
Si, infatti il punto A (0,4) è, di fatto, l’intersezione delle due parabole con l’asse y, scusa, ma mi ero dimenticato di inserirlo, col fatto che ho modificato leggermente il testo e le richieste del problema, perché mi premeva sapere svolgere questo quesito. Grazie mille!
Vorrei anche chiederti come trattare i valori assoluti con le limitazioni geometriche in questo tipo di problemi, perché spesso devo calcolare delle distanze e non capisco mai quando posso o no togliere sti “benedetti” valori assoluti, che mi limitano fortemente i calcoli...
Fammi un esempio sennò non capisco la domanda. I valori assoluti vanno discussi e poi si applica la definzione di valore assoluto.
Per esempio in questo esercizio:
Dove il punto (a) l’ho risolto cercando i punti di intersezione delle due parabole e, in seguito, impostando un’intervallo avente per estremi le ordinate dei due punti trovati (punti di intersezione).
Per risolvere il punto (b) ho tolto il valore assoluto nelle distanze AB e CD, ma non so perché è giusto e nemmeno se l’esercizio in sè è corretto...
Dove il punto (a) l’ho risolto cercando i punti di intersezione delle due parabole e, in seguito, impostando un’intervallo avente per estremi le ordinate dei due punti trovati (punti di intersezione).
Per risolvere il punto (b) ho tolto il valore assoluto nelle distanze AB e CD, ma non so perché è giusto e nemmeno se l’esercizio in sè è corretto...
Da regolamento dovresti riportare i passaggi scritti con il sistema formule del forum.
Cioè fare così:
Comunque, dato che i passaggi sono privi di commento provo a dirti cosa non va in base a ciò che riesco a capire.
Prima di tutto non vedo dove hai determinato i punti di intersezione delle due parabole.
mettendo a sistema
$\gamma_1: y=x^2$
$\gamma_2: y=-x^2+4x$
in questo modo:
$\{(\gamma_1),(\gamma_2):}$
Ma anche solo facendo un disegno trovi i due punti di intersezione che sono $O-=(0,0)$ e $(2,4)$
fatto ciò, risulta evidente che $t in [0,4]$ da considerazioni grafiche.
Fatto questo devi procedere come hai fatto, cioè impostare il sistema seguente:
$\{(\gamma_1),(r):}$
$\{(\gamma_2),(r):}$
E trovare le intersezioni, nell'intervallo di interesse del problema, ossia $t in [0,4]$
Non mi sto a rifare tutti i calcoli a meno che tu non abbia un dubbio preciso, ma ad un certo punto scrivi:
$\bar(CD)=|2+sqrt(4-t)-(2-sqrt(4-t))|=2*sqrt(|4-t|)$
Ecco questo passaggio non è corretto. Peraltro il valore assoluto che compare magicamente sotto la radice è del tutto superfluo: abbiamo appena detto che $t in [0,4]$ quindi $4-t$ sarà comunque positivo o al più nullo.
Prova a rifare i calcoli e a scriverne almeno un paio con le formule del sito.
Infine a te viene t=4 massimo, ma in realtà il libro dà un'altra soluzione.
La distanza tra due punti
$A-=(x_A, y_A)$
$B-=(x_B, y_B)$
, peraltro, va trovata in questo modo:
$d(A,B)=sqrt((x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2)$
per il teorema di Pitagora che dovresti conoscere. Non mi pare tu abbia applicato correttamente la formula.
Cioè fare così:
Considerare le parabole $\gamma_1:y=x^2$ e $\gamma_2:y=4x-x^2$.
a. Discutere le intersezioni della retta $r: y=t$ con le due parabole in funzione di $t$.
b. Nel caso $r$ intersechi sia $\gamma_1$ che $\gamma_2$, detta $\bar(AB)$ la corda staccata da $r$ su $\gamma_1$, $bar(CD)$ la corda staccata da $r$ su $\gamma_2$, $S(t)=\bar(AB)+\bar(CD)$ trovare $t$ per cui $S(t)$ sia massima.
Comunque, dato che i passaggi sono privi di commento provo a dirti cosa non va in base a ciò che riesco a capire.
Prima di tutto non vedo dove hai determinato i punti di intersezione delle due parabole.
mettendo a sistema
$\gamma_1: y=x^2$
$\gamma_2: y=-x^2+4x$
in questo modo:
$\{(\gamma_1),(\gamma_2):}$
Ma anche solo facendo un disegno trovi i due punti di intersezione che sono $O-=(0,0)$ e $(2,4)$
fatto ciò, risulta evidente che $t in [0,4]$ da considerazioni grafiche.
Fatto questo devi procedere come hai fatto, cioè impostare il sistema seguente:
$\{(\gamma_1),(r):}$
$\{(\gamma_2),(r):}$
E trovare le intersezioni, nell'intervallo di interesse del problema, ossia $t in [0,4]$
Non mi sto a rifare tutti i calcoli a meno che tu non abbia un dubbio preciso, ma ad un certo punto scrivi:
$\bar(CD)=|2+sqrt(4-t)-(2-sqrt(4-t))|=2*sqrt(|4-t|)$
Ecco questo passaggio non è corretto. Peraltro il valore assoluto che compare magicamente sotto la radice è del tutto superfluo: abbiamo appena detto che $t in [0,4]$ quindi $4-t$ sarà comunque positivo o al più nullo.
Prova a rifare i calcoli e a scriverne almeno un paio con le formule del sito.
Infine a te viene t=4 massimo, ma in realtà il libro dà un'altra soluzione.
La distanza tra due punti
$A-=(x_A, y_A)$
$B-=(x_B, y_B)$
, peraltro, va trovata in questo modo:
$d(A,B)=sqrt((x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2)$
per il teorema di Pitagora che dovresti conoscere. Non mi pare tu abbia applicato correttamente la formula.
"SirDanielFortesque":
Da regolamento dovresti riportare i passaggi scritti con il sistema formule del forum.
Concordo.
Però, per non farne solo una questione di regolamento, ricordo che i siti di host immagine possono dall'oggi al domani cancellare le immagini e, di punto in bianco, addio testo dell'esercizio...
Si infatti io mi sono pentito di aver postato delle foto in passato per cose che avevo chiesto perché a distanza di un anno volevo rivedermele e ormai non c'erano più. Quindi cerco di scrivere perché poi resta sia per altri che possono avere lo stesso esercizio che per me che magari ne incontro uno simile e so che avevo avuto degli spunti su matematicamente e quindi so dove andare a cercare.
E "last but not least" , spesso e volentieri si capisce ben poco e si deve fare uno sforzo notevole per capire cosa intendeva l'OP.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo