Problema di massimo e minimo (76063)

[valenta93]

ciao a tutti :)
oggi abbiamo incominciato i problemi di massimo e minimo.
ho da fare questo:

decomporre un numero 2a in due parti, in modo che la somma dei loro quadrati sia minima.

non so come impostarlo...
dovrei trovare una funzione, farne la derivata, studiare il segno, e quindi trovare in quale valore c'è il minimo relativo/assoluto
pero' non so impostare l'esercizio

[BIT5]

Dal momento che 2a e' la somma, se un numero e' x, l'altro sara' 2a-x e dunque la funzione da studiare sara'

[math] f(x) = x^2 + (2a-x)^2 \to f(x) = 2x^2-2ax+4a^2 [/math]

con x variabile e a costante.

Aggiunto 1 minuto più tardi:

mi viene il dubbio che con "decomporre" si parli di fattori O.o

Se fosse sarebbe

[math] f(x)=x^2+ \frac{4a^2}{x^2} [/math]

con i due fattori, x e 2a/x, anche se credo sia corretta la prima soluzione che ti ho dato

[magox]

Se è valida la prima interpretazione di BIT5 allora il problema si può risolvere anche per via elementare.Basta osservare che ,detti x ed y i due numeri,si ha :

[math]x^2+y^2=\frac{1}{2} [(x+y)^2+(x-y)^2][/math]

Essendo x+y=2a=costante,è evidente che il minimo richiesto si ottiene quando è nulla la differenza x-y.I due numeri devono essere quindi entrambi uguali ad a .