Problema di massimo e minimo.
Salve, ho questo problema di massimo e minimo dove non riesco a capire dove sbaglio. Riporto di seguito il testo e la soluzione che ho seguito.
Testo: Tra i parallelepipedi di base quadrata di lato "a" e volume 27, si trovi quello la cui sfera circoscritta abbia superficie minima.
La soluzione proposta dal libro è "un cubo di spigolo 3".
La soluzione che ho seguito è la seguente:
Essendo 27 il volume del parallelepipedo, allora $ a^2\cdot h=27 $ , con "h" altezza del parallelepipedo, che di conseguenza può essere espressa come $ h= 27/(a^2) $ .
Considerando il disegno, di conseguenza, posso esprimere il raggio "$ rho $" della sfera come
$ rho^2=(a/2)^2+(27/(2a^2))^2 $ (penso che abbia compiuto un qualche errore qui, ma non riesco ad individuarlo).
L'area della superficie della sfera è:
$ A(rho)=4*pi*rho^2 $
Nella fattispecie:
$ A (a)=4*pi*((a^2)/(4) + 729/(4a^4) ) $
Cioè:
$ A(a)=(a^6+729)/(4a^4) $
Della funzione così ottenuta calcolo la derivata prima:
$ A'(a)=((6a^5)*(4a^4)-16*a^3*(a^6+729))/(16*a^8) $
E di questa studio il segno. Il denominatore è ininfluente in quanto $ a>0 $ ;
$ 6a^5*4*a^4-16a^3*(a^6+729)>=0 $
$ 3a^6-2a^6-1458>=0 $
$ a^6>=1458 $
Segue che $ a=(1458)^(1/6) $
Cioè $ a= 3*(2)^(1/6) $
Qualcuno potrebbe dirmi dove ho sbagliato?
Testo: Tra i parallelepipedi di base quadrata di lato "a" e volume 27, si trovi quello la cui sfera circoscritta abbia superficie minima.
La soluzione proposta dal libro è "un cubo di spigolo 3".
La soluzione che ho seguito è la seguente:
Essendo 27 il volume del parallelepipedo, allora $ a^2\cdot h=27 $ , con "h" altezza del parallelepipedo, che di conseguenza può essere espressa come $ h= 27/(a^2) $ .
Considerando il disegno, di conseguenza, posso esprimere il raggio "$ rho $" della sfera come
$ rho^2=(a/2)^2+(27/(2a^2))^2 $ (penso che abbia compiuto un qualche errore qui, ma non riesco ad individuarlo).
L'area della superficie della sfera è:
$ A(rho)=4*pi*rho^2 $
Nella fattispecie:
$ A (a)=4*pi*((a^2)/(4) + 729/(4a^4) ) $
Cioè:
$ A(a)=(a^6+729)/(4a^4) $
Della funzione così ottenuta calcolo la derivata prima:
$ A'(a)=((6a^5)*(4a^4)-16*a^3*(a^6+729))/(16*a^8) $
E di questa studio il segno. Il denominatore è ininfluente in quanto $ a>0 $ ;
$ 6a^5*4*a^4-16a^3*(a^6+729)>=0 $
$ 3a^6-2a^6-1458>=0 $
$ a^6>=1458 $
Segue che $ a=(1458)^(1/6) $
Cioè $ a= 3*(2)^(1/6) $
Qualcuno potrebbe dirmi dove ho sbagliato?
Risposte
Mi pare che tu abbia preso come diametro la diagonale di una faccia del parallelepipedo mentre devi usare la diagonale che passa per il centro ... IMHO ...
Si. Mi ero proprio confuso su quel passaggio. Grazie mille.
La soluzione del libro è corretta. Lasciandoti l'onere di alcuni calcoli, si arriva ai seguenti "capisaldi":
Raggio sfera circoscritta $r=d/2$, con d diagonale del parallelepipedo.
$d=(√(729+2a^6))/a^2$
$r=d/2=(√(729+2a^6))/(2a^2)$
Area della superficie sferica $A=4πr^2=(π(729+2a^6))/(2a^4)$
La derivata prima della funzione è
$f'_(a)=(4πa^6-2916π)/a^5$
il cui zero è
$4π(a^6-729)=0$
da cui la soluzione
$a=3$
Considerazioni:
- si può verificare che la derivata seconda
$f''_(a)=(4πa^6-14580π)/a^6$
per $a=3$
vale
$f''_(3)=24π>0$
quindi il punto di ascissa $a=3$ è effettivamente un minimo della funzione.
- essendo $h=27/a^2$, è
$h=3$
quindi il parallelepipedo è un cubo.
Raggio sfera circoscritta $r=d/2$, con d diagonale del parallelepipedo.
$d=(√(729+2a^6))/a^2$
$r=d/2=(√(729+2a^6))/(2a^2)$
Area della superficie sferica $A=4πr^2=(π(729+2a^6))/(2a^4)$
La derivata prima della funzione è
$f'_(a)=(4πa^6-2916π)/a^5$
il cui zero è
$4π(a^6-729)=0$
da cui la soluzione
$a=3$
Considerazioni:
- si può verificare che la derivata seconda
$f''_(a)=(4πa^6-14580π)/a^6$
per $a=3$
vale
$f''_(3)=24π>0$
quindi il punto di ascissa $a=3$ è effettivamente un minimo della funzione.
- essendo $h=27/a^2$, è
$h=3$
quindi il parallelepipedo è un cubo.
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